高维立方体“旋转”状态数计算

咖啡味的茶

最近我在写关于高维任意阶魔方的数学理论，以下问题是我写作过程中遇到的一个有趣的问题，我就在这里抛砖引玉一下：
首先，n-维立方体的定义如下：
在一个n维标准坐标系下（Xi），所有点x=（x1，...，xn) 满足不等式 任意的 整数 0≤i≤n 有 |xi|≤1 组成的集合为n-维立方体。
(对于有兴趣的魔友们可以维基百科一下条目“超方形”）
对于旋转我不给出明确的定义，原因为精确的定义会阻碍大家的发散性思维（实际上有许多组等价的定义）。
以下是对于旋转最直接的描述：
二维立方体，也就是正方形的旋转有一下四种可能（限于二维空间）：参考图片1，2，3，4. （注意，5并不是旋转而是反射），即4种情况。
三维立方体，你可以拿起魔方，想想U面和F面颜色不同的情况有多少种？（思考一下为什么U面和F面确定了，R和L颜色必定确定，该性质为三维空间的手性【化学用语】）
那么问题来了：
1. n维立方体的旋转状态数有多少种？
（提示：考虑以下点的排列，（±1，0，...，0），（0，±1，...，0），...，（0，0，...，±1，...，0），...，（0，0，...，±1））。
有数学基础的魔友可以考虑一下这个群的结构。
2. 如此多的旋转里面，可以考虑为一个旋转集合（实际上为一个群），写作Gn。给定点v=（v1，...，vn) 为立方体内一点，Gn里有多少元素满足g（v）=v？（v在多少个旋转下不变）？
（提示：对于不同的v的取值直接影响结论。当v为原点时，g（v）=v的个数与Gn相同，因为原点在旋转中总是不变的。）
这些问题的结论直接影响到n维m阶魔方某一块的旋转状态数（三维m阶（m>3，m为奇数）魔方中角块旋转状态数为3，中棱块为2，中心块为4，其余块全部为1）。
这里提出这些问题希望有兴趣的魔友可以参与讨论以及探索一下高维魔方。

至尊达哥

现在才知道原来二维魔方是这样转的啊!

Alicia_L

完全看不懂