小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》

ggglgq

&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 鉴于 某位“理论大师”（自诩）总是 “<FONT color=red><STRONG>攻击、改帖、屏蔽、删帖</STRONG></FONT>”，本人不便<BR>&nbsp; <BR>在“理论篇”发帖子讨论问题，另发一贴探讨《<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>广义魔方存在3置换的一个充分条件</STRONG></FONT></A>》，<BR>&nbsp; <BR>敬请 earthengine 及 大家 理解！ <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745</A><BR>&nbsp; &nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;

ggglgq

<P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; earthengine 在<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>《广义魔方存在3置换的一个充分条件》</STRONG></FONT></A>中的原贴内容：<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR></P>
<P>
<HR>

<P></P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>因为pengw追问这个证明，我想我能给出一个充分条件，而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。 </P>
<P>首先明确定义。</P>
<P><BR>广义魔方：它包括一些节点，一些位置，以及允许的基本动作。它有一种以上的状态，在每个状态下，每个节点占据一个位置，但不会有两个节点占据同一位置，也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置，从而形成新的状态。</P>
<P>一个公式是基本动作的序列，又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态，则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点，这些位置称为公式的相关位置。</P>
<P>由于节点数目有限，因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态，最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在，对于每个公式f，必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。</P>
<P>如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
<P>如果两个公式有部分相关位置重叠，那么两个公式相交，否则平行。重叠的位置叫做交点。</P>
<P>如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个，则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。</P>
<P>在这些准备工作之后，我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。</P>
<P><BR>引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。 <BR>证明：</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>举一个直观的例子：如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。</P>
<P>现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789，再经过f2'(175432)变为123475689，正好是一个(567)，完成了一个三轮换，而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解，其实是(123456)将1变成2，(175432)则把2变成1，因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6，它不被f2影响，因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢？其实这样写也可以，但我习惯把最小的数放在最前面，反正循环的方向是固定从左到右，两种写法是等价的)</P>
<P>如果f1是四轮换，那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢？其实很简单：对于f1中的元素，要是f1不把它变到1（会被f2'把它变成7）或者6（f2'不能把她复原），那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化，加上f2中多出来的7这点，一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同，因此它们的组合必然是偶的，3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的，因而定理被证明。</P>
<P><BR>定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： <BR>f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明：</P>
<P>在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>推论：</P>
<P>高阶魔方的任意族存在独立三轮换。</P>
<P>证明：高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转，它把某个面上这个族所在的行转动到侧面，而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而，若选取一个面转为f1，相应的层转为f2，与它平行的层转为f3，则符合了上面定理要求的条件，证毕。</P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR></P>

ggglgq

<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 好主题，earthengine 给出了一般魔方（广义魔方）存在 三置换 的一个判定<BR>&nbsp; <BR>条件，具有划时代的意义！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>&nbsp;&nbsp;定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： <BR>f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明：</P>
<P>在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。&nbsp;</P>
<P>

&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; “ f1 和 <FONT color=red><STRONG>f2</STRONG></FONT> 平行”应该是“ f1 和 <FONT color=blue><STRONG>f3 </STRONG></FONT>平行”吧？<BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=red><STRONG>f3</STRONG></FONT>)(f2') 应该是 (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=blue><STRONG>f3'</STRONG></FONT>)(f2') 吧？<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 建议能把“ f1 和 f3 平行”的条件放宽为“ f1 和 f3 不相交”，这样更具一般性。<BR>&nbsp; <BR>因为对于各类魔方来说，只要“ f1 和 f3 不相交”，定理也成立！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>
<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
<P>&nbsp;

&nbsp;&nbsp; <BR>
<P>

原帖由 <EM>earthengine</EM> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217382&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。</P>
<P>

</P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，有些乱了，f1、f2、f3 在“三置换公式”与“相似公式”等概念中“搅扰”呀！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;
<P></P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 11:22 编辑 ]

ggglgq

<P>

原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:37 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216896&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>回22楼，你不从“公理性”四轮换去推导三置换，你的证明没有说服力，也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果，这是一个不能否认的事实，四轮换才是魔方结构定义的最基本变换，没有人会认为四轮换是须要证明的，你首先应该证明三置换是如何来自四轮换，之后才能去证明三置换的一般性，这才是正确的思路，一定要尊重魔方上的基本变换特征。</P>
<P>

</P><BR>

原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:22 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216871&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> <BR>再重复一次，我的问题是，魔方上只有四轮换，随便一转都是如此，怎么就变出了三置换？你可以推导给大家看看吗？你不用四轮换去推导三置换，你的结论会让人信服吗？ <BR>

<BR><BR>
<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 19:32 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216885&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>我的证明不依赖于任何四轮换或者类似的东西。你可以在一个具有五轮换特性的魔方上实践出三轮换。基本要求是存在两个相似公式，它们的相关位置除了一个之外完全相同，然后另有一个公式能把多出来那个位置移到第三个地方，但不会动其它的相关位置。如果能这样，那么三轮换存在。</P>
<P>&nbsp;

</P>
<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 支持， earthengine 回答的很好！&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

ggglgq

<P>

原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 21:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217030&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P><FONT color=red size=6><STRONG>一切置换都源于四轮换</STRONG></FONT>，<FONT color=red size=6><STRONG>只有从纯四轮换推导出三置换才能令人信服</STRONG></FONT>，希望你理解我的说法并抓住问题的实质，不要迫于别人的追问而急于想去证明而失去冷静的分析而跌入圈套（看来会下套的人还不止一人嘛，哈哈哈），你一楼的证明显然不能令人信服，我想没有几个人能看明白你在说什么，你最好用图来表达你的意图，也不要轻易定义什么定理,要明白，三元置换，五元置换及所有可能的置换都是四元置换的派生置换，派生置换是不能自已证明自已的。</P>
<P>

</P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，荒唐。 比如 正十二面体三阶魔方（俗称 五魔方 ）中的<FONT color=blue><STRONG>基本置换<BR>&nbsp; <BR><FONT color=red>不是“四轮换”</FONT></STRONG></FONT>，<FONT color=blue><STRONG>都是“五轮换”。</STRONG></FONT> 也就是说，魔方不都是 正六面体魔方 ！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

ggglgq

<P>

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A></P>
<P>1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。）</P>
<P>

</P>
<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 21:16 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217007&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>按照我的定义，(UR)104和R'U'是全等公式。因此，它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。<BR>&nbsp;

&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 不错，一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多！&nbsp; 只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

魔鱼儿

楼主太专业了,这类问题大家看着很费劲啊,不过还是顶一下

ggglgq

<P>

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。） </P>
<P>&nbsp;

</P><BR>
<P>

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 22:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217121&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;&nbsp;</P>
<P>但大家对“逆公式”的含义已经约定俗成了呀。是否此处你得换个说法？一个打乱态的获得步骤很多很多，该乱态的复原步骤也很多很多，这两大帮步骤串之间，任一个步骤串的逆步骤串只有一个，别的等价物不等于逆步骤串，逆过程还得讲究一步步具体的“脚印”的重现，不仅仅初态终态之重现。</P>
<P>&nbsp;

<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多</STRONG></FONT>！&nbsp; 只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=red><STRONG>乌木 先生理解数学概念不对呀</STRONG></FONT>！&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>earthengine 的说法是正确的</STRONG></FONT>！ <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

kexin_xiao

顶一下！理论问题我水平还很不够，要好好学习！

乌木

<DIV class=quote>
<H5>引用:</H5>
<BLOCKQUOTE>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<P></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对于定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： <BR>f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f3平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。&nbsp;</P>
<P></P></BLOCKQUOTE></DIV>3楼中g老师在引用中直接把“f1和f2平行”改为“f1和f3平行”，就不是“引用”了。这样直接改引用物，会让人看不懂下文的。<BR><BR>