魔方旋转能否用矩阵表示

coolow

魔方旋转能否用矩阵表示
一个1×1×2阶魔方，经实际确认，有四种状态，我们不考虑状态，而考虑旋转，发现旋转需要符合两个条件，一是旋转四次恢复原样，二是旋转一次，两次和三次，都不能恢复原样，那么有没有这样的一个数，任何的数乘以它，乘以四次，变回那个数的本身，而乘以一次两次三次都不能呢？有，设为X，则X^4=1，解之得，X=±1或X=±i，±1不符合要求，因为它们的平方都是1，而±i都符合条件，为了方便，我们可设一次旋转为i。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:31 编辑 ]

coolow

一个1×2×2阶魔方（我们可以拿一个2×2×2阶魔方，把红蓝黄和红蓝白之间固定，把红绿黄和红绿白之间固定，把橙蓝黄和橙蓝白之间固定，把橙蓝黄和橙蓝白之间固定），
我们拧魔方时，发现只能进行180°旋转，因为90°旋转后会发现，不继续拧该面，则需要在被连着的地方拧，根本拧不动。如果我们把橙绿颜色放在左后，会发现，只旋转前面和右面，就能形成该魔方的所有状态。我们先只考虑前面，有两个要求，一是旋转两次恢复原样，二是旋转一次不能恢复原样，对于一个二阶矩阵
                                  F=┌sinα  cosα┐，
                                      └cosα -sinα┘

不可能等于单位矩阵，而且，自己的平方是单位矩阵，符合这样的要求，再考虑右面，可设为
                                  R=┌sinβcosβ┐，
                                      └cosβ–sinβ┘
也符合要求，我们会发现1×2×2阶魔方只有六种状态，而且(FR)^3=E，设E为单位矩阵，经计算可知，需要α-β=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……），

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:22 编辑 ]

coolow

例如，我们会设α=11π/6，β=7π/6（抱歉，第一反应是ω=-1/2+i√3/2，弄了这么两个怪数），所以

F=┌-1/2     √3/2┐  R=┌-1/2  -√3/2┐
   └ √3/2    1/2┘    └ -√3/2   -1/2┘

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:24 编辑 ]

coolow

2阶魔方180°旋转问题，实际上，1×2×2阶魔方的旋转只比2阶魔方180°旋转少了一个U，而γ=π/2符合α-γ=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……）和β-γ=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……），所以设
U=┌1  0┐
  └ 0 -1┘

2阶魔方问题，需要考虑f^2=F，r^2=R和u^2=U，而且全都符合旋转四次恢复原样，并且旋转一次，两次和三次，都不能恢复原样，我们发现
u=┌1  0┐
  └ 0  i┘
符合要求，至于f和r，由于计算量的问题我还没有求出来，抱歉。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:26 编辑 ]

coolow

同事国鬼说，有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的，不知是不是如上的矩阵，三阶的计算量会更大，以上的如果学过复数，三角和线性代数都应该能够看懂，当然错误一定会有的，说白了，就是鲁毕克群是什么，可不可以利用矩阵来表示。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:27 编辑 ]

mwx_1

高中我矩阵这单元考试从来都是通不过的- -

乌木

1楼的“一个1×1×2阶魔方”是否笔误？

卫垚

应该不是笔误。
楼主的意思，是只有一个方向能够旋转，而其他两个方向都不能旋转。比如把普通三阶模仿某一面的9个块粘住，其余的18（或17）个块粘住，就成为一个1×1×2阶魔方

卫垚

关于二阶矩阵的四阶元，楼主已经给出
u=┌1   0┐

    └ 0   i┘
还可以考虑
r=┌1   0┐

    └ 0   -i┘
f=┌0   i┐

    └ i   0┘
这三个四阶元是线性无关的。

乌木

<P>那么，1楼说 “1×1×2魔方”，2楼说“1×2×2魔方”，是两个问题，对吗？ </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>此外，李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》一书里面提到点群、矩阵什么的，是否就是本帖说的？（我不懂这些东西。）</P>