[原创]对称性与魔方

rongduo

对称性与魔方

我以为，对称性是魔方的灵魂。任意一种魔方理论，比如可以是唯象的（拟经验的）、也可以是非唯象的或演绎的，可以是群论观点的、也可以是排列论观点的，等等，但都不能无视对称性的存在。远离对称性其行必然也不远。

对称具有一定的复杂性。这有两层意思：一是我们通过直观察觉到的或在中学数学中学到的对称性，仅仅只是较少的一部分。就普通三维空间（还不包括时间或多维空间）而论，基本的对称就有十几种之多。举例说，你和镜中的你是一种对称，你和站在你对面的孪生兄弟又是另外一种对称；而对面那个孪生子如果他高兴用头倒立，那又是一种很不同的对称了。至于由基本对称复合而成的更复杂对称更是不计其数。其二，对称在很多时候并不一目了然。未被转乱的魔方的图案和其它某些魔方图案具有明显的对称性，但一个被完全“转乱”的魔方其实也有着“严整”的对称性。这后一类对称因其不易察觉，就需要借重于数学来分析描述了。

不考虑中心块，直觉上看，我们从对称的初始状态出发，任意一次转动都保持着一定的对称性：8个方块分为两组被对称地移动了。很难想象最初的对称经过很多次对称的转动后，能够忽然变得不对称了！

对称的图案在数学上常常称为偶置换。易知转动正负90度，8个方块形成两组轮换；转动180度，8个方块分两组形成两两对换。而这两组轮换和两两对换，从数学的角度来看可以划归为同类：都叫作偶置换。初始状态图案被称为零置换，也是一种偶置换。一个偶置换加上一个偶置换，其结果仍是一个偶置换。对称性就这样被保持或继承下来了——这不是臆想，而是经过严格证明的东西。

有两个被人们反复提及的实例，认为似乎可以用来反驳对称性：三方块的轮换和三个角块的扭转。前一疑难我已不止一次地分析过 （《魔方组合原理》中有，另见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3149&page=1一楼）。后一疑难在《魔方组合原理》中也有论述，这里我想换一个角度来思考。

按照对称性的原则（跷跷板原理其实是对这一原则的形象性的说法），角块A发生正120度扭转，必有一角块B扭转负120度。现在假定某些转动使得某一角块C与B发生关联扭转，且C正好扭转了正120度，B则只好再扭转负120度——我们知道，两次扭转负120度相当于一个正120度的扭转。这样A, B, C三块此时皆扭转了正120度——这就是所谓的三块同向扭转的难题。由以上分析可知，这仍然是对称性的表现，只不过是一种隐藏的对称性。

群论是研究对称的利器，有人甚至把它称为“关于对称的数学理论”。仅用群论（连跷跷板原理也不需要）就可以很好地描述魔方（见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3176&page=1），但这需要一定的知识基础，所以不易普及。跷跷板原理可以填补普及的空档（且不失严密性），它的理论作用在于能把复杂的群论遮挡起来，就好像我们用视窗屏幕把计算机内部的复杂性屏蔽起来一样。

真诚地希望有更多的魔友能从对称性的角度重新审视魔方，又希望没有机会学习近世代数的朋友尝试读一点关于对称的普及读物。比如《时间简史》（霍金）第五章，《可怕的对称》（阿·热）以及李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》等。这些书中虽然没有我们所要的现成的答案，但足以启人心智，使我们对对称的认识达到一个新的境界。

ggglgq

 

    感谢 rongduo 先生为 魔方理论（不只限于 正六面体三阶魔方，理论可以在 空间对称魔方
中推广拓展）作出的理论铺垫！

    限于本人水平有限，仅为 rongduo 先生的理论提供下面几个具体样例做参考，预祝 rongduo
先生的理论有更广泛的应用。

ggglgq

    一、镜像的图案；

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2006-11-13 10:48:29的发言：

    乌木 先生，这几天比较忙，没顾上浏览论坛，攒了不少问题没有处理，请 乌木 先生
能体谅、理解。

    您这几次的问题，可以概括为您最后这一次的问题。最后这一次的问题 是 大多数的
魔友能够体会到的问题，正如您所回答的“‘对称’含有对称的操作，如 对于 0 号位置
的‘对称操作’为 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R'” 等等。

    但“对称”也包含“对称的图案”，如 对于 0 号位置 的 “图案的镜像”分别为：
    蓝、绿、红、橙 自对应，黄 ～ 白 、白 ～ 黄 。

   

其他位置的“对称”或“镜像”均含有“对称操作”及“对称图案”（或“图案镜像”），
您可以通过仔细研究 48 态，进一步地理解 48 态 其他位置的这种“对称”或“镜像”。

    二、自镜像魔方。

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2006-12-5 9:37:18的发言：

 

    Dino Cube（正六面体八轴二阶魔方）可以产生自镜像魔方（这是其它 正六面体魔方
所 不 具备的）。

    如 原始魔方  到 她的 自镜像魔方 的最少步公式：

        Generate in many ways  
   
 1)  0 1' 7 4' 2' 5 4' 6 5 4
 2)  0 3' 2 4' 5' 7 4' 1 7 4
 3)  0 6' 5 4' 7' 2 4' 3 2 4
 4)  0' 1 2' 4 7 5' 4 3' 5' 4'
 5)  0' 3 5' 4 2 7' 4 6' 7' 4'
 6)  0' 6 7' 4 5 2' 4 1' 2' 4'
 7)  1 0' 3 5' 6' 4 5' 2 4 5
 8)  1 2' 4 5' 3' 6 5' 7 6 5
 9)  1 7' 6 5' 4' 3 5' 0 3 5
 10)  1' 0 6' 5 3 4' 5 7' 4' 5'
 11)  1' 2 3' 5 4 6' 5 0' 6' 5'
 12)  1' 7 4' 5 6 3' 5 2' 3' 5'
 13)  2 1' 0 6' 7' 5 6' 3 5 6
 14)  2 3' 5 6' 0' 7 6' 4 7 6
 15)  2 4' 7 6' 5' 0 6' 1 0 6
 16)  2' 1 7' 6 0 5' 6 4' 5' 6'
 17)  2' 3 0' 6 5 7' 6 1' 7' 6'
 18)  2' 4 5' 6 7 0' 6 3' 0' 6'
 19)  3 0' 6 7' 1' 4 7' 5 4 7
 20)  3 2' 1 7' 4' 6 7' 0 6 7
 21)  3 5' 4 7' 6' 1 7' 2 1 7
 22)  3' 0 1' 7 6 4' 7 2' 4' 7'
 23)  3' 2 4' 7 1 6' 7 5' 6' 7'
 24)  3' 5 6' 7 4 1' 7 0' 1' 7'
 25)  4 2' 3 0' 1' 6 0' 5 6 0
 26)  4 5' 6 0' 3' 1 0' 7 1 0
 27)  4 7' 1 0' 6' 3 0' 2 3 0
 28)  4' 2 1' 0 3 6' 0 7' 6' 0'
 29)  4' 5 3' 0 6 1' 0 2' 1' 0'
 30)  4' 7 6' 0 1 3' 0 5' 3' 0'
 31)  5 3' 0 1' 2' 7 1' 6 7 1
 32)  5 4' 2 1' 7' 0 1' 3 0 1
 33)  5 6' 7 1' 0' 2 1' 4 2 1
 34)  5' 3 2' 1 0 7' 1 4' 7' 1'
 35)  5' 4 7' 1 2 0' 1 6' 0' 1'
 36)  5' 6 0' 1 7 2' 1 3' 2' 1'
 37)  6 0' 1 2' 3' 4 2' 7 4 2
 38)  6 5' 3 2' 4' 1 2' 0 1 2
 39)  6 7' 4 2' 1' 3 2' 5 3 2
 40)  6' 0 3' 2 1 4' 2 5' 4' 2'
 41)  6' 5 4' 2 3 1' 2 7' 1' 2'
 42)  6' 7 1' 2 4 3' 2 0' 3' 2'
 43)  7 1' 2 3' 0' 5 3' 4 5 3
 44)  7 4' 5 3' 2' 0 3' 6 0 3
 45)  7 6' 0 3' 5' 2 3' 1 2 3
 46)  7' 1 0' 3 2 5' 3 6' 5' 3'
 47)  7' 4 2' 3 5 0' 3 1' 0' 3'
 48)  7' 6 5' 3 0 2' 3 4' 2' 3'
 

smok

被乌木彻底颠覆的所谓镜像问题，又逃到这里来避难了，我想，也许霍金的超对称M理论可以解决这个问题，对称性和循环是魔方上用的最滥的二个术语，凡说不通推不动时，就请这二位出来解围，有些人借用群论或借用对称性将自已的理论打扮的花枝招展，可惜连最基本的原则都概括不出来，除了他自已懂，谁还看的懂，哈哈哈，即是坐在飞机上猿，看上去也不太象人类，关键还是在自已，并不因为飞得高就有什么质的变化。

魔方组合原理中所谓的偶置换和奇置换也不知在什么地跟对称性搭上了关系，作者连一个完整的思路都找不到，在一个跷跷板原理之下的反例不胜枚举，其组合数计算公式明摆着，是借用手工组装获取的数据，拼接出来的，其中引用的群论，实质上就是初中排列知识披上群论的外套，看上去还是“猿的行为”。楼主如果不相信，试试用你的跷跷板原理推导（不充拼接）一下四阶或五阶魔方的组合数计算公式。

照跷跷板原理及手工数据推导的计算公式，2n及2n+1魔方，其计算出的状态数只是正确值的 2/2^n,二阶或三阶还免强正确，四阶以上就离谱太甚了。

可以这么说，由于三阶扰动方程结构的原因，碰巧稍稍迎合了漏洞百出的偶置换和奇置换，四阶或四阶以上，跷跷板原理就连一丁点幸运都没有了，除了预言自已的破产。

[此贴子已经被作者于2006-12-25 14:42:24编辑过]

rongduo

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2006-12-25 9:41:35的发言：

 

    感谢 rongduo 先生为 魔方理论（不只限于 正六面体三阶魔方，理论可以在 空间对称魔方
中推广拓展）作出的理论铺垫！

    限于本人水平有限，仅为 rongduo 先生的理论提供下面几个具体样例做参考，预祝 rongduo
先生的理论有更广泛的应用。

你所发的第一图，对对称作了更细致的区分，这倒是我忽略了的。但由于我只会玩鲁毕克魔方，第二图我就看不懂了。惭愧。

魔方的对称性是显然的，首先是立方体，它的对称性除了球体没有任何图形能超过。你可以“颠覆”某种理论，但无法“颠覆”魔方的对称。对那些大胆非难对称性的人，咱们只当他闲着无聊，自己在那里对着太阳吐唾沫玩儿。

我注意到李世春教授的书主要关注的是转动的对称性，而以前常期使我困惑的则是图案的对称性以及开解法的有效性。《魔方组合原理》正是思考那困惑的结果。

祝好，周末见！

[此贴子已经被作者于2006-12-26 8:25:41编辑过]

smok

同样敬业/诚实的态度，同样的口腔生态问题，二位业界巨匠真是相见恨晚，有院士作序，有高人导航，坐上了高档飞机，谁知着陆会是什么样子，如果真有什么错，多半是飞机错了，二位永远都是正确的，虽然什么有用的结论也没有搞出来，那有什么关系，有几个凡人配吃这碗饭？哈哈哈，即便是将改写当着原创又如何？无人能懂！

邱志红

魔方实体的对称并不能代表魔方的转动及转动后的状态也对称。

一转后的状态怎么看都不对称耶！另外在奇数次表层转动下是得不到对称图案的。一半是对称图案，一半是非对称图案，魔方与对称是什么关系呢？

我的新帖子出炉了，我认为魔方与对称性是无关紧要的，守恒性才是魔方的精髓。

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardid=15&ID=3196&replyID=37483&skin=1

[此贴子已经被作者于2006-12-26 10:19:25编辑过]

smok

几何对称不等于变换对称，很少玩魔方的人或根本就是只看魔方表面的人常常以为变换是一个很简单的问题，以为套几个对称和循环就解决问题，想当然地搞出一些自相矛盾，似是而非的概念，正如跷跷原理，还有以前某个万能的循环变换自定义的语义，可以找出无数反证。当然我理解不了文学风格的隐喻/暗示/夸张，只知道从字面上扣死概念，这也是真正的数学风格，而跷跷板原理就连状态与变换都分不清，在大量反证面前又拉出变换来诡辩，可见其作者是一种典型的混饨阶段的思考呈现，很难东拼西凑自园其说，一句话，跷跷板原理自定义本身也定义了自身的破产，心尤不甘，又去拉靠时间简史，李世春教授，说不定哪天还要让霍金屈尊介入，语文老师的思维怎了得。认错，这一切就不存在了，可惜面子比真理大，死撑着吧，谁也爱莫能助。看清楚魔方表面发生的事情吧，闭门造车，一阵瞎转帮助不了什么。

[此贴子已经被作者于2006-12-26 11:44:57编辑过]

明华

QUOTE:

以下是引用邱志红在2006-12-26 10:11:36的发言：

魔方实体的对称并不能代表魔方的转动及转动后的状态也对称。

一转后的状态怎么看都不对称耶！另外在奇数次表层转动下是得不到对称图案的。一半是对称图案，一半是非对称图案，魔方与对称是什么关系呢？

我的新帖子出炉了，我认为魔方与对称性是无关紧要的，守恒性才是魔方的精髓。

   

    小邱 的观点有些让人不敢恭维，比如对于 正六面体 N 阶魔方来说，最常见的“对称操作”为：
 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R' （中间层自身对应）等等等等。

    有“对称操作”，必然对应“对称图案”呀。

    对于 正六面体 N 阶魔方来说，常见的有 24 个方位，48 个“对称图案”（其组合更为复杂）。

    对于 其他 空间对称魔方 来说，有相应不同的“方位”及“对称图案”。

    怎能发出“魔方与对称性是无关紧要”的论调呢？  对于 正六面体 N 阶魔方来说，最远状态
与 魔方对称性 更有千丝万缕的关系。

    应该说，“对称性是魔方不可回避的问题”，研究 空间对称魔方 的对称性，有利于更好地研究      
魔方状态。

smok

有些人搞了N久循环,可是最后就连公式循环周期都算不出来,有些人搞最小步,搞来搞去,只搞出一个单色子魔方的最小步,真是非常有趣哦.说到对称,弄不明白到底是在说状态对称还是公式对称,学文学的人可能大多无法把握概念,经常弄出一些人即是猿,猿即是人的概念.