公式循环原理的2个证明

yang_bigarm

公式循环原理的2个证明

命题:对任何的公式X，都存在整数N，使得公式X作用于一个还原的魔方N次,能重新到还原的状态。

公理:
1.魔方的变化种类是有限的，假定为NAN个状态。
2.A状态经过一个公式只有唯一确定的B状态
3.A经过一确定公式得到状态B，则必定存在逆公式从B到A

第一个证明：由于魔方状态数有限，所以做一个公式不超过变化种类的次数，就会出现重复的状态（因为抽屉原理）。记第一次出现重复状态
为A1，这两个相同状态的变化为 A1->A2->A3->...->AN->A1，这两个相同的状态如果恰好是复原的状态，那么命题得证。
如果不是复原的状态，那么它就是复原状态的一个置换t()，t相当与一个变换函数，t(复原状态)=A1。现在将t施加在整个链上 A1->A2->A3-
>...->AN->A1，变成 t(A1)->t(A2)->t(A3)->...->t(AN)->t(A1)也就得到了两个复原状态的循环，得证。

第二个证明：由于魔方状态数有限，所以做一个公式不超过变化种类的次数，就会出现重复的状态（因为抽屉原理）。记第一次出现重复状态
为A1，这两个相同状态的变化为 A1->A2->A3->...->AN->A1，下面说明A1只可能是复原的状态。
如果A1不是复原的状态，那么就是A1从复原状态 I 经过一系列变换到A1，然后就在A1这个点循环了。
I->I1->I2->...->Ik->A1->A2->A3->...->AN->A1
可是由公理3，从A1做公式X的逆公式，不可能同时得到Ik和AN两个状态，否则就矛盾了；这说明Ik=AN，可是如果这样就说明IK是第一次出现重复状态的点，这与A1是出现重复状态的点相矛盾。故A1只可能是复原的状态，证毕。

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-3-23 15:03 编辑 ]

为了宝贝

对原理比较着迷，坐个沙发研究下。

尕伟

吓..只看得懂前面一点..

无为子

懵懵懂懂，看着楼主辛苦顶一个

zhy3729

。研究一下。。。。。。。。。

warl0rds

先收藏  以后慢慢看~~~

朱智浩

只会拧魔方 重来没研究理论 学习了

乌木

1楼说“命题：对任何的公式X，都存在整数N，使得公式X作用于一个还原的魔方N次，能重新到还原的状态。”

提两点意见：
1、如果扩展一下“公式”的定义，即允许公式内部含有某种重复的话，比如，有个公式“U F”，其重复周期是整数；如果有人就是要把“U F U F”定义为一个公式，那么，后者的重复周期就不是整数了！此公式做到第某个半遍时，魔方状态就复初了。
2、何必局限于“作用于一个还原的魔方”，应该说得更加一般些－－“作用于任一个魔方态”，若干遍之后，也可以复初！一般，人们喜欢用复原态作为初态，仅仅是因为人脑看起来较直观、容易识别而已。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-23 16:45 编辑 ]

乌木

还有，恐怕不必涉及魔方态总数有限这一点。
一个魔方的块数就是有限的，而且变来变去都没有脱开原来的一个立方体范围，魔方没有散架，也没有什么“外来者”入侵替换，再加上一个极其重要的性质－－一个公式施加于任何魔方态时，每做一遍后，和这一遍的初态比较，所发生的变化模式是完全一样的。这样就马上可以推断：每做一遍，各类块必然发生数目或多或少、长度或大或小的位置循环。这样，一遍一遍……做下去，循环数目不变，各循环的大小也不变，变的只是循环内有关的块在“走马灯”！一个循环的成员决不会变更，循环的几个位置决不会变更，真是决不“越雷池一步”。一遍一遍进行过程中，各循环进行到自己周期变化的哪一“相位”，各自不同。循环内外有关块的色向变化也有简单的周期性。
所以，各此类周期的最小公倍数就是该公式（使魔方状态）重复的周期。
换一个公式，换一种初态，规律也是这样，各具体数值可以一样也可以不同，如此而已。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-23 21:23 编辑 ]

ggglgq

　　
　　
　　
　　
　　
　　
  
      楼主的问题推荐大家参考： 最小循环周期为总状态数的魔方
  
中的相关内容。
  
             http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5240
  
  
    　　　　
　　　　
　　
  

原帖由 乌木 于 2009-3-23 16:28 发表
  
  
提两点意见：
1、如果扩展一下“公式”的定义，即允许公式内部含有某种重复的话，比如，有个公式“U F”，其重复周期是整数；如果有人就是要把“U F U F”定义为一个公式，那么，后者的重复周期就不是 整数 了！此公式做到第某个半遍时，魔方状态就复初了。
2、何必局限于“作用于一个还原的魔方”，应该说得更加一般些－－“作用于任一个魔方态”，若干遍之后，也可以复初！一般，人们喜欢用复原态作为初态，仅仅是因为人脑看起来较直观、容易识别而已。
   
  

　　　　
      　　
      正如 乌木 先生所说，请大家参考：
　　
　　 小议正六面体三阶魔方周期性问题
  
        http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=10920
　　
      这个问题讨论的比较多了，关于魔方“公式”的“最小正循环周期”，本人的拙见：
  
  
    一、正六面体三阶魔方“公式”最小正循环周期的最大值结论既非 1980 ，更非 1260 。
  
    二、魔方“公式”的“最小正循环周期”为“正有理数”，而并非“正整数”。
  
    三、魔方“公式”在其“最小正循环周期”内遍历的最值问题。　　
　　
　　　　
　　　　
　　
　　　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-25 08:55 编辑 ]