直角三角形

yzsjw0

已知：直角三角形的斜边为85，求直角边的整数解。

ggglgq

13 84
36 77
40 75
51 68

ggglgq

整数解中还有一个 0 85 85

不会还有了吧 ？ 直角边 包括 负数 和 零 吗？

yzsjw0

这是三十多年前我问老师的一道题，三天后老师给了答案，写了一张纸的解题过程。想不到ggglgq兄几分钟就给出答案了，佩服。

[此贴子已经被作者于2006-6-8 7:31:06编辑过]

conancliff

能给个过程么？

ggglgq

数学技巧主要是考虑 个位数字平方和 为 5 。

我是顺手编了个程序“算”出全部答案的，呵呵，真快呀！

whitetiger

两种方法：

一种方法是“凑”。

85^2=7225，它的一半是3612.5，所以只要检验短直角边为1～60的情况。（60种可能）

进一步，只要检验长直角边为61～84的情况。（22种可能；如果手边没有平方表，而且又背不出的话，计算量稍微大些。）

“主要是考虑个位数字平方和为5”，好像没什么用。

同样推荐用EXCEL表格，我想大家一拉，结果就出来了。

whitetiger

再给一个比较正规的方法：

大家知道“本原勾股数”的概念吗？

“勾股数”指能构成直角三角形的三正整数组；“本原勾股数”要求其两两互质。

“本原勾股数”有公式（一定能表达成以下形式）：

a=(m^2)-(n^2)

b=2mn

c=(m^2)+(n^2)

其中，m>n，m和n互质。

85=5×17

（1）以5为“本原勾股数”的斜边。

5表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(2^2)+(1^2)。

得到的“本原勾股数”为（3，4，5）。

对应于本题的解为（51，68，85）。

（2）以17为“本原勾股数”的斜边。

17表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(4^2)+(1^2)。

得到的“本原勾股数”为（15，8，17）。

对应于本题的解为（75，40，85）。

（3）以85为“本原勾股数”的斜边。

85表达成2个（互质）正整数的平方和，有2种可能：85=(9^2)+(2^2)=(6^2)+(7^2)。

得到的“本原勾股数”分别为（77，36，85）和（13，84，85），就是本题的解。

whitetiger

再说一个公式：

[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac+bd)^2]+[(ad-bc)^2]

就是说：两个整数平方和的积也能表示成两个整数的平方和！

当然，也有：

[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac-bd)^2]+[(ad+bc)^2]

所以，大部分情况下，两个整数平方和的积能以2种形式表示成两个整数的平方和。

这样，就能通过5和17表示成整数平方和的形式，马上计算出85的2种整数平方和的表达方式！

甚至于，本题直接这样做就可以，认为85^2=5×5×17×17，是4个整数平方和的乘积！

（只不过，直接做，不容易对所有解好好把握，或者漏算，或者重复算。）

yzsjw0

三十多年前我和老师都是用的8楼的方法。

设：a=N［(m^2)-(n^2)］

b=N(2mn)

c=N［(m^2)+(n^2)］=85

当N分别为1、5、17时，解不定方程，得到全部解。

[此贴子已经被作者于2006-6-8 7:31:43编辑过]