我咋总发概率题啊？

Osullivan

乒乓球单打比赛，选手A对选手B。
已知如果选手A发球，得分概率是a (0<a<1)，如果接对方发球，得分概率是b (0<b<1)。
有两种规则可供选择：
第一种规则两人每小分轮流发球。
第二种规则胜利者可以继续发球，失球后对手发球。
先得到n分的选手胜利。例如n ＝ 11，任何选手的得分先达到11就赢了。
一开始A选手发球。（所以如果两人轮流得1分，最后A赢）
求证：对于任何的a, b, n，两种规则下A选手的胜率一样。

PS：这题很不错，发过，但貌似吧里没有正解，希望大家继续思考。。。
问题：桌子上有5件东西。你随机取走几件，请问你手上的物体个数是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？所谓“随机取物”，是说每一个物体被取走的概率都是1/2。因此，你有可能取走所有的物体，也有可能一样都没拿。

把桌子上的物品个数换成10个，你的答案又是多少？

zhy3729

＝高手！！沙发挂！！！！！！

幺贰叁

又露头了。

superacid

这个挺有意思的...

lulijie

PS：这题很不错，发过，但貌似吧里没有正解，希望大家继续思考。。。
问题：桌子上有5件东西。你随机取走几件，请问你手上的物体个数是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？所谓“随机取物”，是说每一个物体被取走的概率都是1/2。因此，你有可能取走所有的物体，也有可能一样都没拿。 把桌子上的物品个数换成10个，你的答案又是多少？
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楼主的意思是这样么：
a、b、c、d、e  5件东西，每件在你手上的概率都是1/2。
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用f(i)表示你手上东西共i件的概率：
那么f(0)=(1/2)^5
      f(1)=C(5,1)* (1/2)^5=5*f(0)
      f(2)=c(5,2)*(1/2)^5=10*f(0)
      f(3)=C(5,3)*(1/2)^5=10*f(0)
      f(4)=C(5,4)*(1/2)^5=5*f(0)
      f(5)=C(5,5)*(1/2)^5=f(0)
     所以手中东西为偶数的概率=f(0)+f(2)+f(4)=f(1)+f(3)+f(5)=1/2
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如果一共有n件东西，那么
   手中东西为偶数的概率 P偶=f(0)+f(2)+f(4)+......=f(0)* (1+C(n,2)+C(n,4)+......）
   手中东西为奇数的概率 P奇=f(1)+f(3)+f(5)+......=f(0)* (C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+......）
  (1+C(n,2)+C(n,4)+......）        等于杨辉三角形第n行偶数项的和
  (C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+......）等于杨辉三角形第n行奇数项的和
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当n为奇数时，f(0)=f(n),f(2)=f(n-2)......    ，P偶=P奇
当n为偶数时，   也可以证明P偶=P奇。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-8-10 00:09 编辑 ]

lulijie

当n为偶数时：
偶数项的和    C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+......可以这么计算
    利用（1+1)^n+(1-1)^n   展开
          2^n=（1+1)^n+(1-1)^n =2 * ( C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+......）
    所以( C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+......）=1/2 *2^n
同理利用（1+1)^n-(1-1)^n   展开 得到
          (C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+......）=1/2*2^n
两者相等。

Osullivan

原帖由 lulijie 于 2009-8-10 00:00 发表
PS：这题很不错，发过，但貌似吧里没有正解，希望大家继续思考。。。
问题：桌子上有5件东西。你随机取走几件，请问你手上的物体个数是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？所谓“随机取物”，是说每一个物体被取走的 ...

你的解答完全正确！！！~~~~~~~~~~~~
解法很潇洒~~~~~~~~~
这样考虑和你那因该差不多
以5个为例，取0和取5效果一样，取1和取4效果一样，取2和取3效果一样~~~~~~~~
则奇偶个数概率一样~~~~~~~~~~~~
若为偶数个物体，可以分开为两组奇数个（如10个可分为5个一组，5个一组来考虑），参照奇数个物体分析方法，每组单独分析，也是概率一样~~~~~~~~~

第一题呢？~~~~~~~~~~~~

lulijie

至于乒乓球题，貌似简单，实际上证明起来不简单。
我有一些递推公式，但是不能解出概率的精确计算公式。
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赢球发球制：   用f(n,m)表示A选手n个球后得分为m(最后一个球胜)的概率。
                       用g(n,m)表示A选手n个球后得分为m(最后一个球负)的概率。
                        那么   f(n,0)=0
                                  g(n,n)=0
                                  f(n, m) = a * f(n - 1, m - 1) + b * g(n - 1, m - 1)
                                 g(n, m) = (1 - a) * f(n - 1, m) + (1 - b) * g(n - 1, m)
     那么选手A先得11分的概率=f(11,11)+f(12,11)+f(13,11)+......+f(21,11)
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轮换发球制：   假设每个选手发k个球后换发球。
                        用f(n,m)表示A选手n个球后得分为m的概率。k(n)表示第n球时选手A 的赢球概率
                     那么      f(0, 0) = 1            
                                当 n-1除以2k的余数为 0或1 时      k(n)=a
                                当 n-1除以2k的余数为 2或3 时      k(n)=b
                                 f(n, 0) = (1 - k(n)) * f(n - 1, 0)
                                 f(n, m) = k(n) * f(n - 1, m - 1) + (1 - k(n)) * f(n - 1, m)
      那么选手A先得11分的概率=k(11)*f(10,10)+k(12)*f(11,10)+k(13)*f(12,10)+......+k(21)*f(20,10)
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用电脑计算：  
a=0.6   b=0.5   赢球发球制              A先到11分概率  0.68781605052
                        轮换发球制 k=2       A先到11分概率  0.68781605052
                                          k=1         A先到11分概率  0.68781605052
a=0.5   b=0.5   赢球发球制              A先到11分概率  0.5
                        轮换发球制 k=2       A先到11分概率  0.5
                                          k=1         A先到11分概率  0.5
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a=0.6   b=0.4   赢球发球制              A先到11分概率  0.518002864582092            （两个选手发球赢球概率相等）
                       轮换发球制 k=2        A先到11分概率  0.518002864582092
                                          k=1         A先到11分概率  0.518002864582092
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几个边界值
a=1   b=0         赢球发球制              A先到11分概率 1
                        轮换发球制 k=2       A先到11分概率  1
                                          k=1         A先到11分概率 1
a=0   b=1         赢球发球制              A先到11分概率 0
                        轮换发球制 k=2       A先到11分概率  0
                                          k=1         A先到11分概率 0
a=0.2   b=1         赢球发球制           A先到11分概率 0.91410065408
                        轮换发球制 k=2       A先到11分概率  0.91410065408
                                          k=1         A先到11分概率 0.91410065408
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不同发球制，赢球概率严格相等。