几何题2

石崇的BOSS

设锐角△ABC的外接圆w的圆心为O，经过A、O、C三点的圆w₁的圆心为K，且与边AB和BC分别相交于点M和N，现知点L与K关于直线MN对称．证明：BL⊥AC．


[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2010-9-16 19:16 编辑 ]

tm__xk

角BAN=BAO+NAO=BAO+BCO=B==>O为BMN垂心
MLN=MKN=2B==>L为BMN外心
由垂外心定理知BO和KL平行相等.

[ 本帖最后由 tm__xk 于 2010-9-17 13:31 编辑 ]

chuchudengren

好精彩的证明。
第一步有一个字母写错了BAN=BAO+NAO。垂外心定理应该就是那个1：2分割的欧拉定理吧

tm__xk

笔误..我改了..谢了..

垂外心定理是指这一个:
垂心和顶点的连线段//=2外心到对边的垂线段.

石崇的BOSS

∠MLN=∠MKN=2∠B，这里为什么？

石崇的BOSS

哎，结合2楼的思路，终于证明出来了，谢谢

石崇的BOSS

如图，连接辅助线，由∠OBN+∠BNM=∠OBN+∠BAC=∠OBN+∠BOD=90°，得出BO⊥MN，又LK⊥MN，故BO//LK……①
又∠BAN=∠BAO+∠OAN=∠BAO+∠OCB=∠ABO+∠CBO=∠ABC，
而2∠BAN=2∠BAC+2∠CAN=2∠MNC+2∠CAN=∠MKC+∠CKN=∠MKN，
且2∠ABC=∠AOC，故∠MKN=∠AOC，因此∠AOK=∠MKL，又KO=KA=KM=ML，
于是∠OAK=∠AOK=∠MKL=∠MLK，所以△AOK≌△LKM，因此得出LK=OA=OB……②
由①②得出四边形BLKO为平行四边形，故BL//OK，由OK⊥AC，因此有BL⊥AC.

tm__xk

MLN=MKN=2BAN=2B.

tm__xk

我知错了..果然想复杂了..
应该这么说..

角BAN=BAO+NAO=BAO+BCO=B==>B为MNO垂心
又K为MNO外心,由垂外心定理知BO//=KL.