几何题4

石崇的BOSS

⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于P、Q，两对角线相交于R．试证：圆心O恰为△PQR的垂心.

chuchudengren

这题简单，极线的问题，以前你的题里我证过Q是PR极点的。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:27 编辑 ]

淘淘牛01

  都还给老师了~~~

aircheng

目测，LZ的准确图看以看出：O恰为△PQR的垂心！
开开玩笑，先想想。

录

我想問一下什麼是極線啊？最近有在看一些幾何的書..唉..幾何太爛了..

Cielo

原帖由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:08 发表
这题简单，极线的问题，以前你的题里我证过Q是PR极点的。

话说你选马翔的几何学了啊

原帖由 录 于 2010-9-16 19:14 发表
我想問一下什麼是極線啊？最近有在看一些幾何的書..唉..幾何太爛了..

是“配极”的方法，从“反演”的概念引申出来的，我也记不太清了

superacid

你们现在是不是师生关系了...

tm__xk

自共轭三角形..
非要等差幂线算的话..我真的已经懒得写了....
lz可怜可怜吧..

石崇的BOSS

经人指点之后的证明：

过A,C,Q三点作圆，交QR延长线于E，其他辅助线如图，
则∠REC=∠RAB=∠RDC，故D,E,R,C四点共圆，
设圆O的半径为r，则由圆幂定理有：
QR*QE=QC*QD=QO²-r²…………①
RE*RQ=RA*RC=r²-RO²…………②
再结合RQ=QE-ER，①+②得出QO²-QE²=RO²-RE²
于是∠OER=90°，即QR⊥OE，
又∠OEA=270°-∠AEQ=270°-∠ACQ，
∠ADO+∠ACD=∠ADO+∠DOF=90°，且∠ACD+∠ACQ=180°，
因此∠ADO+∠OEA=90°-∠ACD+270°-∠ACQ=360°-(∠ACD+∠ACQ)=180°，
因此D,A,E,Q四点共圆，记为圆S，同理，连接EB,OC，有B,C,O,E四点共圆，记为圆T，
因此圆O,S,T两两相交，且DA交CB于P，由等幂线性质知，OE延长线过点P，于是O,E,P三点共线，
故得出QR⊥OP，同理得出PR⊥QO，于是点O为三角形PQR的垂心.

石崇的BOSS

，又解决了一道题……