广义魔方存在3置换的一个充分条件

earthengine

<span style="">因为pengw追问这个证明，我想我能给出一个充分条件，而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。</span>
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首先明确定义。<br>
</p><p>广义魔方：它包括一些节点，一些位置，以及允许的基本动作。它有一种以上的状态，在每个状态下，每个节点占据一个位置，但不会有两个节点占据同一位置，也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置，从而形成新的状态。</p>

<p>一个公式是基本动作的序列，又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态，则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点，这些位置称为公式的相关位置。</p>

<p>由于节点数目有限，因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态，最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在，对于每个公式f，必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。</p>

<p>如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</p>

<p>如果两个公式有部分相关位置重叠，那么两个公式相交，否则平行。重叠的位置叫做交点。</p>

<p>如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个，则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。</p>

<p>在这些准备工作之后，我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。</p>

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引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。

<p>证明：</p>
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<p>举一个直观的例子：如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。</p>
<p>现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789，再经过f2'(175432)变为123475689，正好是一个(567)，完成了一个三轮换，而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解，其实是(123456)将1变成2，(175432)则把2变成1，因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6，它不被f2影响，因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢？其实这样写也可以，但我习惯把最小的数放在最前面，反正循环的方向是固定从左到右，两种写法是等价的)</p>
<p>如果f1是四轮换，那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢？其实很简单：对于f1中的元素，要是f1不把它变到1（会被f2'把它变成7）或者6（f2'不能把她复原），那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化，加上f2中多出来的7这点，一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同，因此它们的组合必然是偶的，3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的，因而定理被证明。</p>

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定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）：
<ul type="1">f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行</ul>
<ul type="1">f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。</ul>
那么在这个位置族上存在一个三置换。

<p>证明：</p>
<p>在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。</p>
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<p>推论：</p>
<p>高阶魔方的任意族存在独立三轮换。</p>
<p>证明：高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转，它把某个面上这个族所在的行转动到侧面，而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而，若选取一个面转为f1，相应的层转为f2，与它平行的层转为f3，则符合了上面定理要求的条件，证毕。</p>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-18 21:12 编辑 ]

junior_sky

不懂 .......

魔鱼儿

楼主说的太专业,看不大懂.

乌木

1楼说：“f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行”，是不是f1和f2先是相交，后来变为平行了？

bbshanwei

太专业了。理论性太轻。

kexin_xiao

又要开始研究了，坐地上看！

pengw

<P>这里是去年在ronduo追击下，从一堆草稿中整理简化出来发表的一个旧贴，用来证明三置换之类的基本操作，没有用到群论概念，我想也没有必要，为了照顾多数人 <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3418&amp;extra=page%3D1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3418&amp;extra=page%3D1</A></P>
<P>&nbsp;</P>
<P>一楼的证明太复杂，也许可以更简单一点。</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 12:27 编辑 ]

刘超

通俗点的话我可能还会看的懂的，不过现在……

sing2

希望各位以后发帖要尽量简单,不要总是很很很很...多字,我没耐心

乌木

<P>1楼说：“如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，……”，这里的“公式f2的相关节点”和“公式f3的相关节点”都是指“公式f2的<STRONG><FONT color=red>全部</FONT></STRONG>相关节点”和“公式f3的<STRONG><FONT color=red>全部</FONT></STRONG>相关节点”，对吗？还是<FONT color=red><STRONG>全部</STRONG></FONT>、<STRONG><FONT color=red>部分</FONT></STRONG>都可以？</P>
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<P>此外，是否应该说成“如果存在一个公式f1，能把另一个公式<FONT color=red>f3</FONT>的相关节点变成第二个公式<FONT color=red>f2</FONT>的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，……”？因为我们通常应用相似变换时总是这样的思路嘛，即总是把不符合公式f2的初态改造为可以运用f2的临时态，做好f2后再做f1' 恢复别的块。</P>
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[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-18 17:24 编辑 ]