推箱子关卡最佳答案的步数

skyivben

我在“只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数”的15楼中提到：

进一步，我们定义以下函数：

• P(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的最多 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• Q(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的刚好 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• R(n, m) = P(n, m, n * m)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的关卡的最佳答案的步数。
• S(n, m) = Q(n, m, 1)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数。

显然，R(n, m) ≥ S(n, m)，也更值得研究。

• R(1, 2) = 0
• R(2, 2) = 0
• R(1, 3) = 1 : D
• R(2, 3) = 5 : ruulD
• R(3, 3) = 10 : drruulDrdL
• R(1, 4) = 2 : DD
• R(2, 4) = 7 : uruulDD
• R(3, 4) ≥ 17 : RluUdrruulDrdLulD
• R(4, 4) ≥ 25 : luUrurrdddLLrruLruulDDrdL

上述结论还有很大的改进余地。

请参阅：再谈推箱子关卡最佳答案的步数

xiaopo18

推箱子这玩意太复杂了。。。我这智商也就我小游戏上推箱子前几关了

sokoban

目前步数最多的关卡（箱子个数没有限制）可能暂时还是利用 Fibo 系列关卡来构造。参看此帖：(34楼 金优先生的回帖)

http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... mp;page=4#pid621511

lietice

好厉害，虽然看不懂。。

skyivben

1楼的 R(3, 4) 不对，应该是：
R(3, 4) ≥ 13 : uURdrdLuuurDD

skyivben

R(3, 4) ≥ 21 : rrddlldRuruullDDrUruL
不知是否有更好的解答。

[ 本帖最后由 skyivben 于 2012-4-20 21:50 编辑 ]

skyivben

我在“推箱子关卡最佳答案的步数”中定义了 B(n, m) 函数：

• B(1, m) = m - 2,      when m > 0
• B(n, m) = B(m, n),   when m > 0, n > m
• B(n, m) = B(n - 1, m - 1) + B(n - 1, m),  when m > 1, n > 1, n ≤ m

并提出SB猜想：S(n, m) ≥ B(n, m)。
现在我们提出RB猜想：R(n, m) ≥ B(n, m)。
由于R(n, m) ≥ S(n, m)，所以如果SB猜想成立的话，RB猜想也就一定成立。
由于B(n, m)增长得非常快，所以SB猜想未必成立。虽然目前还没有找到SB猜想的反例。
但是RB猜想是非常有可能成立的。

sokoban

除了n很小的情况，一般地，我猜测 R(n,n) < 2^n
即50x50的关卡，步数不会超过 R(48,48) < 2^48 = 281474976710656 步

[ 本帖最后由 sokoban 于 2012-4-21 17:17 编辑 ]

skyivben

根据“[url=http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=30733&page=4]解法步数随关卡大小成指数增长的关卡[/url]”贴子第34楼和36楼jinyou(金优)先生的说法，我们有：

• R(5, 5) ≥ 48 : rDrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
• R(5, 7) ≥ 170 : rDDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
• R(5, 9) ≥ 494 : rDDDLUdrDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuuuullDDRUldDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuuuurrDDLUdrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL

此外，我们还有 R(5, 2 * m + 1) ≥ R(5, 2 * m - 1) * 2.618。

由于 R(5, 2 * 2 + 1) ≥ 48 ≥ 2.618^{2 + 2}。

所以我们有以下R5定理：R(5, 2 * m + 1) ≥ 2.618^{m + 2}。

[ 本帖最后由 skyivben 于 2012-4-21 18:01 编辑 ]

skyivben

根据R5定理，我们有：R(5, 47) = R(5, 2 * 23 + 1) ≥ 2.618^{23 + 2} > 2.813 x 10¹⁰。

而 sokoban 兄在8楼猜测 R(48, 48) < 2⁴⁸ < 2.815 x 10¹⁴。

看来这个猜测有点危险。

如果 R(48, 48) > R(5, 47) x 10008 的话，这个猜测就不成立了。

[ 本帖最后由 skyivben 于 2012-4-21 18:22 编辑 ]