九九归一，没有想象的那么玄乎（新增图解法）

邱志红

如题。我发现，任何进制，最大的一位数相乘，得到的结果的末位数都是1。
证明起来也很简单。 上述的乘积式子，在任何进制里面，都可以写成（10-1）*（10-1）。

（10-1）*（10-1）=10*10-2*10+1=（10-2）*10+1

（10-2）*10的末尾数是0，再+1的话，最终结果的末尾数就是1了。

二进制需要单独讨论，因为二进制里不存在2。不过二进制的情况很简单，就是1*1=1。

* 这里出现的10不是十进制的10，而是所有进制里面，最小的二位数。比如7进制里面，10相当于十进制里的7。

邱志红

刚刚想到了直观的图解法，如下：

左图是一个（n-1）*（n-1）的正方形。从右下角截取一个1*（n-2）的长方形，正好可以补到右边，变成右图，使上面的每一行都是满进制的，最后一行留一个1*1的小方块。
注意这个图，n-2 ＞ 0才有意义，n-2=0的时候就没有意义了。这也从侧面印证了为什么二进制需要单独拿出来讨论。

刀田一日

(n-1)(n-1)=n^2-2n+1
(n^2-2n+1) mod n = 1

确实

wxrvictor

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