内外不一致现象及其相关
最近，我的模型又发挥了作用，发现了许多新奇的现象。比如：高阶魔方存在内外不一致现象。
就拿四阶魔方来举例吧。前提是你已经看过我的帖子《方形魔方的一般模型》，知道我的转动描述法。
将一个初始状态的四阶魔方施行 Y2,Z2-,Y3,Z2,Y2-,Z2-,Y3-,Z2 的操作（操作后面的“ - ”是表示“逆”，即 -1 次方的意思）。那么内部的一个二阶魔方就被动的施行了 Y1,Z1-,Y2,Z1,Y1-,Z1-,Y2-,Z1 的操作。
结果就是下面的这个样子。截图来自游戏 Puzzle2.05 ，各位可以将颜色排列调到如图的方式（红的对面是橙，绿的对面是蓝，黄的对面是白），然后在 Puzzle2.05 里面试一试。可惜在这张图上面看不到背面。但已经显示出了差异，表面还原了而内部却没有还原 。
由于是在 Word 里面做的，要用到公式编辑器。那样公式要当图片处理，这样又会出现上次发帖子时的那种尴尬（上次有 230 多张图片要贴）。
我是个很严谨的人， 但这里我省略了公式验证，请多见谅。
上一贴中有我关于魔方转动的描述法。这里我有一点要补充的： n 阶魔方中，一个转动 Xn 中的 n 表示该转动是针对 X 正方向第 n 层的（这里暂且不论是怎么转的）。大家都知道其实就是 X 正方向的最后一层。所以我补充一点：也可以将该层记为 X- 1 。（也暂且不论是怎么转的）。
同样的道理 X 正方向的 n-1 层就是 X 负方向的 -2 层。那么一般的有： X 正方向的第 t 层就是 X 负方向的 [t- （ n+1 ） ] 层。即 Xt 等同 X[t- （ n+1 ） ] 。
同样的道理 Y 方向和 Z 方向也是如此。总结一下就是，关于转动操作的下标， t 与 [t- （ n+1 ） ] 是等同的，是针对同一层的。不明白的可以看上面的图。它是我从电脑键盘的 Tab 键上面得到灵感而想出来的。
上面四阶的操作 Y2,Z2-,Y3,Z2,Y2-,Z2-,Y3-,Z2 就可以记为 Y 2 ,Z 2 - ,Y -2 ,Z 2 ,Y 2 - ,Z 2 - ,Y -2 - ,Z 2 。 这样才看得出来 Y 方向转动的两个层是对称的两个层。
有了上面的补充作铺垫，就有下面的东西了。一般的高阶魔方施以以下的转动。下面式子中的 U 和 V 分别代表 X ， Y ， Z 中的两者，这样就有一般性。
U t ,V t -,U- t ,V t ,U t -,V t -,U- t -,V t.
就会发现该操作是仅针对魔方的第 t 个层次的。而对其 内部及外部 的层次没有影响。我现在还没有时间去证明（其实就是将该操作代进去验证而已），其具体表现大家是能很容易理解的。拿一个高阶的试一下就能理解了。
而其对称的操作
U- t ,V t ,U t ,V t -,U- t -,V t ,U t -,V t - .
也是仅针对魔方的第 t 个层次的。而对其 内部及外部 的层次没有影响。上述的 t 是自然数。 t=1 的时候也成立，即该方法此时只影响最外层。
魔方层次的概念
这里提到了魔方的层次的概念，我解释一下。假设魔方小块的边长为一个单位。 n 阶魔方表层厚度为 1 的一层为魔方的第一个层次。其内部包含一个（ n-2 ）阶的魔方。这个（ n-2 ）阶的魔方表层厚度为 1 的一层为魔方的第二个层次。依次类推就有第 t 个层次的概念。
这些层次是一层包一层的，就象洋葱一样。 2n 阶的魔方有 n 个层次， 2n+1 阶的魔方有 n+1 个层次。
魔方内外不一致现象的发现以及魔方层次的定义使我想到了魔方完全复原的问题。一般人对魔方的复原理解为魔方表面的复原。而其对应的状态定理也只能称为魔方表面颜色排列定理。而对内部的小块没有考虑，也没有考虑魔方各层次之间的联系。这就是忍冬极近完美的 N 阶魔方状态定理的是一大缺憾啊。真切地希望忍冬继续努力弥补这个缺憾。使 N 阶魔方状态定理变为 N 阶魔方 完全 状态定理，包含内层的状态及内外各层之间的联系。
这样大家就可以发现 魔方各层次是相对独立的 。就象三阶魔方的角块，棱块和中心块一样是相对独立的。
至于魔方的完全复原应该包括外层和各个内层的复原，即魔方各层次都复原。至于方法，上面的操作就是原则上面的一种方法，但只能做很简单动作。如果将 V 方向的 t 换为一般的层 p ，即
U- t ,V p ,U t ,V p -,U- t -,V p ,U t -,V p - 或 U t ,V p -,U- t ,V p ,U t -,V p -,U- t -,V p
则就可以做比较复杂的动作。因为可选的层很多，而它们之间又可以互相迭加和重复操作，还有对称变换和旋转变换等。应该足够完成某一个层次的复原而不影响内部 或 外部的层次。其规律如下：由于诸多原因我就没证明了（其实就是将该操作代进去验证而已），请各位多多包涵。
当正方向看 p 大于等于 t ，同时负方向 p 又小于等于 -t 的时候。该操作将不会影响小于 t 的层次，而有可能影响大于等于 t 的各个层次。
当正方向看 p 小于等于 t ，同时负方向 p 又大于等于 -t 的时候。该操作将不会影响大于 t 的层次，而有可能影响小于等于 t 的各个层次。
上面的就是我的两种复原方法。第一种先复原表层，先不管内部的变化。然后依据第一条令 t=2 ，此时的操作要求正方向看 p 大于等于 2 ，同时负方向 p 又小于等于 -2 。这样就不会影响 t 小于 2 的层次，即不会影响第 1 层。而有可能影响大于等于 2 的各个层次，利用 p 的多种取值加上各种变换。就可以还原第 2 个层次，注意此时是不管内部的层次的变化的。然后令 t=3 。此时的操作要求正方向看 p 大于等于 3 ，时负方向 p 又小于等于 -3 ，这样就不会影响 t 小于 3 的层次，即不会影响第 1 层和第 2 层 , 利用 p 的多种取值加上各种变换。就可以还原第 3 个层次，也不管内部的层次的变化的。依次类推就可以从外到内达到所有层次的复原。
第二种方法是类似的，与之刚好相反，是从内向外复原的。我就不多说了，大家应该能理解。
总的来说 p 取值的时候是以 t 或 -t 为临界值的。当正方向看 p 大于等于 t ，同时负方向 p 又小于等于 -t 的时候。该操作将不会影响小于 t 的层次，而有可能影响大于等于 t 的各个层次。而当正方向看 p 小于等于 t ，同时负方向 p 又大于等于 -t 的时候。该操作将不会影响大于 t 的层次，而有可能影响小于等于 t 的各个层次。而两者的交集， p 等于 t 的时候，就刚好只影响第 t 个层次。这与开始提出的操作及其效果是一致的。
最后有一点要说，我是一个学数学的人。系统，全面，普遍是数学的最大追求。上面的问题可能并没有实际价值，但从数学的角度来说，是很有必要的。因为只有魔方所有层次复原才是真正意义上的魔方的复原。希望大家能理解。
大家最好都去试一下，就用 Puzzle2.05 同时开几个游戏就行了。为了验证最好选择阶数比较高的魔方，当然也可以用我的模型提供的方法进行验证。
更希望有人能将我复原的思想转化为具体的方法。我现在只是原则上面谈了一下而已，希望能为整理具体的方法起指导作用。
还希望忍冬继续努力以 N 阶魔方状态定理为基础，把它改进成为 N 阶魔方完全状态定理，因为现在的 N 阶魔方状态定理已经不能解释上述现象了。
邱志红
2005-5-31
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狗仔卡
发表于 2005-5-31 20:25:47
![[原创]奇异的内外不一致现象及其相关讨论](static/image/common/none.gif "[原创]奇异的内外不一致现象及其相关讨论")
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