对换位子公式的一点理解

123wyx

昨天看见魔友讨论“什么形式的公式才能算换位子(commutator)公式”的问题。

这个问题我觉得可以这么理解，记录在这里供魔友参考。

A与B的换位子的定义就是[A,B]=ABA'B'，没有其他限制条件。
比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做，但[L,R]照样是L与R的换位子。
[L,R]这个例子是A与B两个步骤互相没有影响的情况，这种情况下，A与B可以交换顺序，故[A,B]=ABA'B'=AA'BB'=0，得到的就是恒等元，也就是说魔方状态不变。

如果A与B相互影响，有一定交叉，那么A与B一般就不能交换了，[A,B]一般就不为0了。
这时虽然[A,B]=ABA'B'不等于AA'BB'=0，但若A与B相互影响较小，那么[A,B]还是很接近0的，这样在盲拧中会有用处。
比如说咱们熟悉的所谓“标准”换位子三轮换公式，A与B同时涉及一个块，[A,B]就与0稍有区别，得到的结果是一个三轮换。

直观上讲，如果A与B同时涉及更多块，比如[U,M]，那么[A,B]与0的差距就会更大。比如[U,M]就是个五轮换。

当A与B的相互影响大到一定程度时，公式[A,B]与0差异就会非常大，这时这个换位子公式可能就没有什么好的性质了，在盲拧中自然就没什么用处了。

所以说，A与B的换位子的定义[A,B]=ABA'B'本没有其他限制条件，但A与B两个步骤相互影响的方式与程度决定了换位子的模式与效果。

天方魔

123wyx 发表于 2017-1-25 10:14
好，谢谢。
其实引发这个讨论的问题是：“算不算commutator公式？”
讨论的内容是："换位子公式"除满 ...

［U2,M］是commutator公式没错，我发的五循环标态研究里指出［U2,M］就是标准的commutator公式，更准确的说是“双空穴交换机（commutator）”公式。也就是说这个公式就是双空穴交换机的非标态公式，双空穴标态产生五循环，这个公式因为双空穴的“互相替换”，所以双空穴产生了三循环的公式。
这也解释了这个公式中心错乱的现象。五循环公式都会中心错乱，因为去掉了“单空穴”这个限制，用高阶魔方做翼棱的五循环公式会很直观的发现整个转群实际上除了翼棱的空穴外中心也会被替换。理论上五循环公式可以避免中心错乱，但公式必然变得很复杂，得不偿失。

tm__xk

乌木 发表于 2017-1-27 12:54
哦，原来要这样来看，A是R，B要看成是EL'E'，整个就是[A,B]了。

由此，角块三轮换URU'L'UR'U'L 就可 ...

事实上,当我需要使用commutator构造三角换时,首先简单让A=D,其次我需要一个B恰好改变D面一个角,最简单自然是B=RUR'这样的.
三角换本来就可以是这么来的.

btw,如果是要B恰好改变D面一个棱,同理可以用B=RER'或者B=MUM',这样就得到了三棱换.
其中一个就是你刚才说的"插入一点步骤"的例子.

tm__xk

123wyx 发表于 2017-1-27 12:18
乌木老师您好。

是的，我觉得您说的公式可以写成 R E L' E' R' E L E' = [ R , E L' E' ] = [ R , [ E ...

哦..你们把commutator和conjugate分别记成了[A,B]和[A:B]吖....

tm__xk

123wyx 发表于 2017-1-27 10:17
嗯，对，各人有各人的定义。只要大家把自己的定义互相说清楚，对原理的理解正确就可以了。
所以说1楼发 ...

然而..我的经验告诉我....(泛指,不特指魔方方面..)
有的人想通这些毫无难度,这种人不需要我多嘴..
有的人我再怎么说都没用,这种人我也救不了..
有的人思维是很好的,就是没想清楚某点,捅一捅就破的..对这种人说这些才有用..

我就是想说..不管是在开始时还是在过程中..当发现对方是以上第二种人..那你就不用再多说什么了....

tm__xk

乌木 发表于 2017-1-27 11:52
1楼说，“比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做”。是的。有趣的是，[R,L']=RL'R'L 或 [R',L]=R'LRL' 分别插入 ...

事实上这一点都不"有趣",因为从你"插入一点步骤"的方式上看这几乎是必然结果.
确切地说,你的"插入一点步骤"的方式是将[R,L']改成了[R,EL'E'].
怎么看都应该觉得"这么改可以得到什么什么效果"很平凡吧..毕竟这里的"什么什么效果"其实就和"值得一提的commutator效果"的要求一样..

123wyx

乌木 发表于 2017-1-27 12:54
哦，原来要这样来看，A是R，B要看成是EL'E'，整个就是[A,B]了。

由此，角块三轮换URU'L'UR'U'L 就可 ...

是的。角块8步commutator三轮换公式的形式与您给出的这个例子都是类似的，拙作《教你手算彳亍法角块378公式》的4楼把这些公式总结了一下。

乌木

123wyx 发表于 2017-1-27 12:18
乌木老师您好。

是的，我觉得您说的公式可以写成 R E L' E' R' E L E' = [ R , E L' E' ] = [ R , [ E ...

哦，原来要这样来看，A是R，B要看成是EL'E'，整个就是[A,B]了。

由此，角块三轮换URU'L'UR'U'L 就可以看成：(URU') L' (UR'U') L=(URU') L' (URU')' L，也是ABA'B'形式。

123wyx

乌木 发表于 2017-1-27 11:52
1楼说，“比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做”。是的。有趣的是，[R,L']=RL'R'L 或 [R',L]=R'LRL' 分别插入 ...

乌木老师您好。

是的，我觉得您说的公式可以写成 R E L' E' R' E L E' = [ R , E L' E' ] = [ R , [ E : L' ] ] 的形式，这样就是个很标准的棱块三轮换形式了。

祝老先生新年快乐！

乌木

1楼说，“比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做”。是的。有趣的是，[R,L']=RL'R'L 或 [R',L]=R'LRL' 分别插入一点步骤后，就有棱块三轮换的效果了：
R E L' E' R' E L E'  ，或 R' E' L E R E' L' E