与魔方有关的问题

Cielo

<P>一个三阶魔方，如果只允许转动U面和R面，问一共能产生多少种不同的角块位置的状态（就是说不考虑角块色向，只考虑位置，有多少种不同的状态）？</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>摘自《Handbook of CUBIK MATH》（作者A.H.Frey, D.Singmaster）习题7.5-1</P>

焚寂

围观一下吧！！！看的一头雾水！！！

Cielo

要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
实际上就是要证明：如果公式Z将ABCDE的某一个排列仍变回那个排列本身，那么Z实际上没有改变原来所有角块的位置。…………①

下面用反证法，
假设Z将 i 号角块移到 j 号角位，由于ｉｊ下标对（不考虑顺序）必然在ABCDE的某一个中，不妨设为A，
由于Z仍将集合A变为A自身，而ｉ变为ｊ，所以ｉｊ变为ｊｉ；

然后考虑另一个集合B，则B中有ｉｋ和ｊｍ；一定可以找到一个集合，不妨设为C，其中有ｊｋ和ｉｎ，ｎ≠ｍ，这是因为ABCDE的取法决定的。

由于Z仍将集合B变为B自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉｋ与ｊｍ互换，即ｋ与ｍ互换；
类似的，Z仍将集合C变为C自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉn与ｊk互换，即ｎ与ｋ互换；这样得出ｍ＝ｎ，矛盾！则①得证。

这样由于ABCDE这5个集合的排列只有5！=120种，所以至多只有120种状态。

而很早就有回帖说至少120种，所以就正好是120种了。
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:08 编辑 ]

Cielo

接着发答案吧：

15个数对分为5组，分别是
A={12，35，46}
B={16，23，45}
C={15，26，34}
D={14，25，36}
E={13，24，56}

现在U使12->23，35->45，46->16，也就是A->B，于此类似可以发现，U实际效果是形成了轮换（A，B，C，D）
而R形成了轮换（B，C，D，E）

也就是说，对于任何一个由U、R形成的公式，它的效果是形成了ABCDE的一个排列。
下面要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
（未完待续）
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:05 编辑 ]

Cielo

等了这么久也没人给出证明
发一部分书上的答案吧：
与28楼的想法类似，用数字来代表可以动的6个角块，ufl=1，ulb=2，ubr=3，urf=4，dfr=5，drb=6
那么U的效果是（1，2，3，4）（也就是说块1到了位置2，2到了3，3到了4，4到了1），
R的效果是（6，5，4，3）

下面是比较巧妙的一步：我们不只是考虑一个角块，而是考虑由两个角块组成的“角块对”。由于我们已经用数字表示了，所以也就是考虑“数对”：ｉｊ（ｉｊ和ｊｉ表示同一个“角块对”，所以不妨设ｉ<ｊ）

这样一共有6C2=15个“数对”，我们将它们分为5组，每组3个。

但具体怎么分呢？未完待续，这也算是个提示吧，希望大家能继续思考）
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:04 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>Cielo</i> 于 2008-8-22 11:26 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219941&amp;ptid=11384" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

&nbsp;
也许earthengine 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。

<br>我说的就是这个没错。基本上，自由度就是说，你能随意确定多少个节点的位置。对于LU来说，我们只能确定其中２个，然后只能剩下一个４轮换。所以它的自由度是３。<br>

Cielo

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-20 14:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=218718&amp;ptid=12859" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 现在我们来应用这个方法解决乌木提出的问题：LU魔方角块的自由度问题。<BR><BR>LU只不过是两个四轮换而已。但是它们有两个相连的交点。在交点处L和U的转动方向是相反的。所以我们可以据此进行编号L=[1234]，U=[3564]。<BR><BR>第一个节点的固定永远不是问题。因此我们只要关心如何将节点移动到2这个位置。我们能不能找到一个保持1不变的公式，能把3456中的某一个移动到2呢？让我们祭出法宝——相似变换来解决这个问题。因为我们想保持L不变，因此希望寻求U的相似变换。其中最简单的候选也许是(L)(U)(L')了。我们看看它的循环式：
<BLOCKQUOTE>[1234][3564][1432]</BLOCKQUOTE>化简后得到[2563]。成功了！356等位置现在可以都到达位置2了，而1保持不动。还有一个4无法达到。根据相似变换原理，U能把4变走，所以我们再来看看
<BLOCKQUOTE>(U)(L)(U)(L')(U')=[3564][1234][3564][1432][3465]</BLOCKQUOTE>
<P>这个循环式很长，不过化简后就是[2354]。这样2就可以到达位置4了。 ...

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>也许<EM>earthengine</EM> 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。</P>

乌木

补充一下，照1楼的题意，左边的 等等和右边的 等等都还可以逆时针转90°及转180°。如果不做这补充也可，但要补充说明可以一次连续转任意个90°，再转另一边四个新的数。总之，还是1楼的魔方题目的条件表达得最清楚。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-1 16:57 编辑 ]

Cielo

<P>

原帖由 <I>wxl5188</I> 于 2008-8-1 10:25 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=198881&amp;ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 太难了,但我知道大学时候教我概率的老师肯定能算明白.他实在太牛了!

</P>
<P><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1">&nbsp;是啊，这本来就只是一个数学题而已：</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>六个数排成这样236</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 145</P>
<P>左边的23可以顺时针转，右边的36也可以顺时针转，就可以得到126、243之类的排列。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 14&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 45&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 435&nbsp;&nbsp;&nbsp; 156</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>问一共能得到多少种不同的排列？</P>

[ 本帖最后由 Cielo 于 2008-8-1 10:51 编辑 ]

wxl5188

太难了,但我知道大学时候教我概率的老师肯定能算明白.他实在太牛了!