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教程（04）利用转动序列的换位子寻找公式 [复制链接]

hubo5563

魔方贵宾

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电梯直达

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发表于 2024-10-9 07:42:40 |只看该作者 |正序浏览

本帖最后由 hubo5563 于 2024-10-17 17:15 编辑

利用转动序列的换位子寻找魔方块的三轮换公式

   我们讨论的是任意的魔方。在同一魔方里才有意义。以下都是在同一魔方里展开论述。
   定义：每转动一次魔方，叫做单步转动。魔方的有序转动可以用单步转动的序列表示，叫做转动序列。
转动序列里的单步转动个数叫做转动序列的长度。转动序列的长度可以是任意正整数。
   我们把不做转动的特殊情况，也看做长度为0的转动序列，记作I。
   先做转动序列X再做转动序列Y结果也是一个转动序列，叫做X和Y的乘积记作XY。
   显然，任意的单步转动X，反向做同样的转动记作X'，有
   XX'=I
   X'X=I
X'叫做X的逆。
   任意转动序列X如果存在转动序列Y使得XY=I成立，那么Y叫做X的逆转动序列，简称逆，记作Y=X'。
    定理1：魔方任意转动序列都有逆。事实上任何转动序列都可以用单步转动表示;
   X＝X1X2X3....Xn-1Xn
   X的逆就是它们逆的倒序;
   X'＝X'nX'n~1，，，X'3X'2X'1
特别是如果
   X＝YZ
  那么
   X＝Z'Y'。
   魔方每个转动序列X都要变换魔方的一部分块，这部分块叫做转动序列X的活动集。也有一些块原地不动，叫做转动序列X的不动集。
   I的活动集为空集，不动集为魔方的全部块。
   由于任何转动序列X有;
   XX'＝I
表示X把活动集里的任意一个位置A的块a转动到位置B，那么X'就把位置B的块转动到位置A，也就是说把块a返回原位A。
   任意两个转动序列X与Y，转动序列Z＝XYX'Y'叫做X和Y的换位子，记作[X,Y]。
   Z'=[X,Y]=YXY'X'=[Y,X] 是Y和X的换位子。
   当两个操作的活动集不相交时，有XY=YX，它们的换位子，作为一个转动序列，实际上不改变任何魔方块，也就是一个I；换位子实际上是对两个操作的可交换性的一种度量。
   定理2：如果转动序列X与转动序列Y的活动集只有一个位置A，那么换位子Z=[X,Y]是魔方的三轮换。
   如果X把位置A的块移动到位置D，把位置B的块移动到位置A，Y把位置A的块移动到位置E，把位置C的块移动到位置A。魔方所有块分为四种：
   1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
   2，与A位置相关的块，有A，B，C，D，E这五个块，下面分析做Z序列后，这五个块位置的块变化。
   有四种情况：
      1）五个位置没有重合，五个位置A，B，C，D，E就是真正的不同位置，假定初始各位置的块是a,s,c,d,e，为清楚起见我们表示为
      块：    a , b , c, d,  e
   位置：    A, B,  C,  D,  E
   做X，变为：
      块：    b, b1, c,  a,  e
      位置： A, B， C, D, E    b1是另外的块
   做Y，变为：
      块： c,  b1, c1, a,  b
位置： A,  B, C,  D,  E b1，c1是另外的块
   做X’变为：
   块：    a,  c,  c1,  d,  b
位置：    A,  B, C,  D,  E c1是另外的块
   做Y'，变为：
   块：       b,  c, a, d,  e
  位置：       A,  B, C, D,  E
做完Z序列前后，比较：
      块：    a , b ,  c, d,  e
   位置： A, B,  C,  D,  E
   块：       b,  c, a, d,  e
  位置：       A,  B, C, D,  E
  D，E位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换,[X,Y]是一个三轮换。
   2）位置B和位置D重合，位置E不与C重合，此时实际与A相关的块和位置有4个：A，B，C，E ，对应的块 a , b , c,  e
      块：    a , b , c, e
   位置：    A, B,  C,  E
   做X，变为：
      块：    b, a, c,  e
      位置： A, B， C,  E
   做Y，变为：
      块： c,  a, c1, b
位置： A,  B, C, E c1是另外的块
   做X’变为：
   块：    a,  c,  c1, b
位置：    A,  B, C, E c1是另外的块
   做Y'，变为：
   块：       b,  c, a, e
  位置：       A,  B, C, E
做完Z序列前后，比较：
      块：    a , b ,  c, e
   位置： A, B,  C, E
   块：       b,  c, a, e
  位置：       A,  B, C, E
E位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换。

   3）位置C和位置E重合，位置B不与D重合，此时实际与A相关的块和位置有4个：A，B，C，D ，对应的块 a , b , c, d
      块：    a , b , c, d
   位置：    A, B,  C,  D
   做X，变为：
      块：    b, b1, c, a
      位置： A, B，  C, D
   做Y，变为：
      块： c, b1, b, a
位置： A, B,    C, D c1是另外的块
   做X’变为：
   块：    a,  c, b, d
位置：    A,  B, C, D
   做Y'，变为：
   块：       b,  c, a, d
  位置：       A,  B, C, D
做完Z序列前后，比较：
      块：    a , b ,  c, d
   位置： A, B,  C, D
   块：       b,  c, a, d
  位置：       A,  B, C, D
D位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换。
   4）位置B和位置D重合，位置F与C重合，此时实际与A相关的块和位置有3个：A，B，C，对应的块 a , b , c,
      块：    a , b , c,
   位置：    A, B,  C,
   做X，变为：
      块：    b, a, c,
      位置： A, B， C,
   做Y，变为：
      块： c,  a,    b，
位置： A,  B, C,
   做X’变为：
   块：    a,  c, b，
位置：    A,  B, C,
   做Y'，变为：
   块：       b,  c, a,
  位置：       A,  B, C,
做完Z序列前后，比较：
      块：    a , b ,  c,
   位置： A, B,  C,
   块：       b,  c, a,
  位置：       A,  B, C,
   A，B，C，位置的块进行了三轮换。
从图可以看出，四种情况不管哪种，最后做完Z后都产生了三轮换：
   块：       b,  c, a,
位置：       A,  B, C,

   3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不包括D位置的块。
   做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
   4，是X不动集的块，是Y活动集的块，不包括E位置的块。
   做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。

   总之，换位子Z=[X,Y]=XYX'Y'除了块a,b,c的三轮换，不改变魔方其他任何块，是一个单纯三轮换。

   定理3：如果转动序列X和转动序列Y的活动集的交有两个块位A,B,转动序列X是把位置C,D的块c,d移动到A,B,把A,B位置的块a,b移动到另外位置E,F的转动序列，转动序列Y是把A,B位置的块互换的转动序列，那么转动序列Z=[X,Y]=XYX'Y'是两个对换的积(a,b)(c,d)。

   魔方所有块分为四种：
   1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
   2，与A，B位置相关的块，有A，B，C，D，E，F这六个块，在下面将分析做Z序列后，这六个块位置的块变化。
   3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不是C，D，E，F位置的块，做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
   4，是X不动集的块，是Y活动集的块，显然它们不是A，B位置的块。做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。
   下面只讨论与A，B位置相关的块：
   做Z=[X,Y]=XYX'Y'转动序列前，
   a b c d e f
   A B C D E F
做X序列后:
   c d c1  d1  a b
   A B C D E F
做Y序列后：
   d c c1 d1 a  b
   A B C    D E F
做X'序列后：
      a b d c e f
   A B C D E F
做Y'序列后：
   b a d c e    f
   A B C D E F
这就是两对换之积(a,b)(c,d).

定理4：如果转动序列X和转动序列Y的活动集的交有两个块位A,B,转动序列X是把位置C的块c,移动到A位置，把A,位置的块a移动到B位置,把B位置的块b移动到另外位置D的转动序列，转动序列Y是把A,B位置的块互换的转动序列，那么转动序列Z=[X,Y]=XYX'Y'是一个三轮换(a,c,b)。
魔方所有块分为四种：
   1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
   2，与A，B位置相关的块，有A，B，C，D这4个块，在下面将分析做Z序列后，这四个块位置的块变化。
   3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不是C，D位置的块，做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
   4，是X不动集的块，是Y活动集的块，显然它们不是A，B位置的块。做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。
   下面只讨论与A，B位置相关的块：
   做Z=[X,Y]=XYX'Y'转动序列前，
   a b c d
   A B C D
做X序列后:
   c a c1 b
   A B C D
做Y序列后：
   a c c1 b
   A B C    D
做X'序列后：
   c b a d
   A B C D
做Y'序列后：
   b c a d
   A B C D
这就是一个三轮换(a,c,b)。



利用转动序列的换位子寻找魔方块的翻转公式

调整朝向
   多数魔方除了块的移动外，可能还有魔方块的朝向问题。也就是块的翻转朝向。
   定理5：如果转动序列X与转动序列Y的活动集只有一个魔方块A的交集，X是一个转动A位方向的转动序列,Y是一个把B块移动到A处的转动序列。那么X和Y换位子Z=XYX'Y'就是一个调整块A和块B方向的转动序列，并且一个正转一个角度，另一个倒转同样角度。
   由于X转动A位的块，X'也是一个转动A位的块的转动序列，并且肯定转动方向与X相反转动度数相同，不然XX'=I就不成立。
   实际上做完X序列，X的活动集除了A位的其它块都不在Y序列的活动集里，所以，做Y序列时和Y'序列时都不会影响它们，再做X'时就会复原。只有A位的块a做了一个反转，假定顺时针转动了x度，再做Y序列时，Y把它移动到新的位置A1，把B位的块b移动到A位置，再做X'转动序列时，把A位的块b逆时针转动x度，Y活动集的其它块不受影响，然后做Y'转动序列时，把b块移动到原来的B位，此时，b块已经逆时针转动了x度，把A1位置的a块移动到位置A处，此时a块还是顺时针转动了x度，同时把其他位置的块复原到原来位置。所以，Z=XYX'Y'序列只将A位的块a转动一个角度，把B位置的b块反向转动同样的角度，其他块保持不变。

制造其它的3-轮换和调整块朝向公式
   当我们找到一个三轮换公式或翻两块公式后，我们可以用一种技术，称为预置（setup）：尽管我们无法用换位子直接应对其它不在换位子活动集的魔方块，不过我们可以先把魔方变换到可以运用符合要求的情况（这一步称为“预置”），运用公式后，再逆变换（undo-setup）抵消之前的预置，就可以实现其他的三轮换和翻块操作。

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