[原创]续一式解万方

邱志红

续一式解万方

-------- N 阶魔方的其他问题及延伸

作者：邱志红

目录

一、N 阶魔方的内部问题

二、两棱问题

三、N 阶魔方的结构模型

四、小块的坐标

五、N 阶魔方的转动模型

六、H 函数的推广

七、长方体魔方的模型

八、长方体魔方的复原

九、长方体魔方的相关问题

十、统一论

一、N 阶魔方的内部问题

　　当你看到上一篇的最后一节时，你是否注意到：“ N 阶魔方的表面就这么多就可以了”这么一句话。这明显的就是我留下的悬念，表面复原了，那内部呢 ? 魔方内部是否也跟着复原了呢？

　　答案是否定的，即魔方的表面复原的时候，内部不一定复原，而且内部复原的几率还很小。我以前的帖子里面就提到过这个问题了。现在我有了完全的解决方法了。

　　首先定义几个概念：

　　　　魔方的阶 :N 阶魔方的表面称为 N 阶，内部包含的 (N-2) 阶魔方的表面称为 (N-2) 阶，依次定义直到最后的 2 阶或 1 阶。

　　　　魔方的层次：N 阶的表面称为 N 阶魔方的第一个层次，(N-2) 阶的表面称为 N 阶魔方的第二个层次，依次定义直到第 个层次或第 个层次。

　　由以上的定义发现：N 阶魔方是一层包一层的，依次递减两阶。所谓的阶，层次都是指的某一表层。是不包括内部的。同时定义两者是为了描述的方便，其实一个就够了。

　　有了以上的定义，就有一个定理：H 函数对应的公式只影响某一个层次，而对该层次以内或以外的层次无影响。而且被影响的那个层次由三个转层中最靠外的一个转层决定。

　　考虑到 p,q,r 的取值都是 1-n, 靠外的层所对应的 变量 不一定 就小。比如第 n 层就是最外层，但 n 是最大的。所以最靠外层用数学的方法表述就是。令 S 是最靠外层，那么

S=min{p，q，r，(n+1)-p，(n+1)-q，(n+1)-r}

　　即要确定最靠外层，观察三个转层的时候都要从正反两个方向来看。六个中最小的才能称为最靠外层。由于令 S 是最靠外层。那么定理就可以明确地写为：H 函数对应的公式只影响 N 阶魔方的第 S 个层次。其中 S=min{p，q，r，(n+1)-p，(n+1)-q，(n+1)-r}, 而对大于或小于 S 的层次是无影响的。

　　是不是觉得很不可思意。还是觉得不可能。那我就证明一下吧。

　　证明：1.对于大于 S 的层次，至少第 S 个转层是不参加转动的，因为大于 S 的层次根本就没有那个转层。现在来看一下 H 函数吧。看看缺少某一个转层即缺少某种颜色字符的层之后的 H 函数是怎么样的吧。

H(p,q,r)=Y_pZ_q^--Y_r^-Z_qY_p^-Z_q^--Y_rZ_q

　　如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=Z_q^--Y_r^-Z_qZ_q^--Y_rZ_q=I

　　如果缺少 -Y_r 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_pZ_q^-Z_qY_p^-Z_q^-Z_q=I

　　如果缺少 Z_q 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_p-Y_r^-Y_p^--Y_r=I

上面的 I 表示循环操作。发现三个转层缺少任何一个参与，该操作就成了循环操作了。这样就证明了大于 S 的层次即 S 层次里面的层次是不受 H 函数影响的，所作的是循环。

2。对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题就不好办。因为它不象上面那样至少有一个层没参与转动。它可是三个转层都参与转动了啊，但也是一个循环操作。

如果对所有转动了的小块进行跟踪，要进行 3n²-2n 次跟踪，是不现实的。明显地单体分析是行不通的，还是要整体分析。要是能像上面那样利用循环就方便多了。

好想法，但是问题是：的确是三个层参与而不是两个层参与啊。但可以这样处理，把某两个层归在一起作为一个群，而另外的第三个层也作为一个群。前一个群缺少一个层参与，那么所作的操作就是循环操作了，上面一节已论证了。而后一个群只有一个层，也能很容易看到它所作的也是循环操作。两个群作的都是循环操作，问题就在于：两个循环操作是穿插进行的，不是一先一后地进行，而且还有相交的地方，两个循环操作必定互相影响，定存在群与群之间的元素互换。现在只有期待群与群之间的元素互换，最终又回归各自的群。

问题转化为证明：交换了的元素能否最终又回归各自的群。现在只证明第三个层中元素的运动情况，而前两个层中的元素也可以用同样的方法去证明，就不用再罗嗦一遍了。

　　如图，绿层所代表的就是一个群，区别与红层代表的另外一个群。分开来看都是循环的。A₁，A₀ 是特殊块，它们的正对面分别是 A₁'，A₀'（图中没画，知道就行）。

　　现在，就来一步一步地分析两个群之间的元素交换，全过程如下：

　　第一步：Y_p 层转动，无元素交换。

　　第二步：Z_q 层转动，无元素交换。

　　第三步：-Y_r 层转动，A₁ 转到 A₀ 处，A₁' 转到 A₀' 处。

　　第四步：Z_q 层转动，A₁ 转到 A₂ 处，A₁' 转到 A₂' 处。

　　第五步：Y_q 层转动，无元素交换。

　　第六步：Zq 层转动， A 1 转到 A 0 处， A 1 / 转到 A 0 / 处。

　　第七步：-Y_r 层转动，A₁ 转到 A₁ 处，A₁' 转到 A₁' 处。

　　第八步：Z_q 层转动，无元素交换。

　　从以上的分析发现，红层里面存在交换的元素经过一系列的运动又回归红层而且是原处。绿层里面的元素也一样。

　　还有一个特殊问题就是交叉元素 A₀，A₀' 的情况。它的运动不能称之为两个群的元素交换。其实只要证明它也能回归原位就可以了，道理一样，我就不证明了。

　　对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题已经全部证明完毕。是无影响的。

　　3。对于等于 S 的层次，问题就可以不用证明了，因为 H 函数本来就不是一个循环操作（你能证明它等于 I 吗？），它一定会对魔方产生一定的影响。既然已经证明了上面的两条，那么现在就可以马上断定它影响的地方一定就在第 S 层次。

　　定理到此全部证明完毕。

　　如果你没有群的观念，而把它当成是三个转层之间的问题的话，证明的难度会大大增加，过程也会相当烦琐。

　　这个定理是完全复原 N 阶魔方的理论支持。即 使 N 阶魔方的外部及内部各个层次的所有的总共 N³ 个小块都归原位的理论基础。

　　那么 N 阶魔方的完全复原过程是：先复原表层也即魔方的第一个层次，包括面块的完全复原，中心复原在内。也即第一个层次的完全复原。这时候注意一点，既然表面完全复原了，那么整个 N 阶魔方簇之间的扰动就完全消除了（这一点就交给彭伟解释吧）。那样的话，内部各个层次的复原就都是簇内变化了，刚好我的 H 函数对应的操作也全部都是簇内变化。所以凭 H 函数就能完全复原 N 阶魔方的内部。

　　更有意思的是，由于内部复原都是簇内变化，所以内部层次的复原不需要按由外到内的顺序依次复原。内部层次复原的顺序可以是任意的。

　　特殊地，奇数阶魔方的中心块与各面心块的问题：很特殊，建议一开始就解决掉，把位置都摆正确，而且别的小块都以它们为标准复原，以免留下一大堆遗留问题。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:47:27编辑过]

一叶小舟

邱志红 发表于 2005-9-23 23:36
二、两棱问题
　　高阶魔方存在一个非常经典的问题，也是讨论最频繁的问题，也是引起的思考较多的问题。它 ...

我接触魔方时间不长，也常遇到此问题，有时换个面参照能做。

黑白子

这个帖子应该置顶，方便查找阅读。

mokona

魔方循环理论滴神人！！

黑白子

图片看不到了。

乌木

好像不是的，他说的内外是，外部块是指看得到的所有块，内部块是假想的、看不到的块。比如，三阶魔方的内部块是一个假想的体中心块；四阶魔方的内部块是个假想的二阶魔方，等等。

limite034

你所说的表面和内部之间不一致是什么？我举个例子，我理解是的三阶带字或图形的魔方，把颜色转对了，但字或图形的方向不对，可以这样理解吗?
    顺便说一句，我的七阶魔方原点对称的任意图形图形都可以随意转出，比如，六面“中”字，六面“王”字。只要能想出的对称图形很使用几个程序组合随意转出。

kexin_xiao

看了老大的提醒帖子，再学习一下，真是太有才了

13813800

真的管用吗？？？？？？？

smok

<P>循环公式不但不是什么相似变换的特例，反而，完全就是彻头彻尾的相似变换，证明简单得不值一提，可是，有些人硬要将循环公式的性质（或称相似变换的性质）说成是最小步理论，拿着循环公式到处行骗，自封大圣，自比魔方界的爱因斯坦，轻怠同行，言语酸妄，指点江山，最后变成魔方界的超级笑话，教训是多么地深刻，从爱因斯坦到小丑果然只有一步之遥，不懂不是错，装疯卖傻骗人则可笑至极，用你的作品服人，此外没有更好的办法。</P>
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[ 本帖最后由 smok 于 2007-11-18 22:43 编辑 ]