我也来一道数学题目——跟圆周率有关

rubik-fan

前几天偶然看到的，祖冲之对圆周率的贡献很大，其中著名的就是他提出了一个圆周率近似分数355 /113,华罗庚曾证明过比这个更接近圆周率的，分母起码要比366大。而现在有证明比这个跟接近圆周率的分母至少要比15000要大。群里有没有人能够证明出来？证明过程用初中水平的数学就可以完成。

lulijie

用连分数的方法表示Pi，并证明下一个更好的近似连分数为52163/16604，并不能排除分母小于16604的分数就不是更好的Pi近似值。因为表示Pi近似值的分数，大部分不是用近似连分数表示的，例如3927/1250就是一个相当不错的近似值。<br><span style="color: Blue;">因此金眼睛的结论：如果当作证明题，已经证明了，a至少为145，也就是分母至少为16491，不仅如此，还可以求出下一个更好的连分数。&nbsp;&nbsp; </span><br><span style="color: Red;">证明不能成立。</span>他错就错在把近似连分数理所当然地看成是最好的Pi的近似值。就算这个想当然可能就是对的，它本身也要被证明。<br>当然他用程序来例举所有分母小于16604的分数，一个个排除，倒是可以证明。并且这样的程序很简单，每个分母仅需枚举一个分数即可。

bbshanwei

8楼的金眼睛最爱研究这些东西了。

kexin_xiao

学习一下.数学博大精深啊!

xiaoshudian

呵呵,二楼的很厉害哦

刚吃完

看的有点晕

rubik-fan

可以设一个分数p/q比355/113更接近圆周率，那么，(p/q-3.1415927)的绝对值<(355/113-3.1415927)的绝对值，后面这个绝对值为0.0000002……然后再通过绝对值不等式求解q的近似值。

mwx_1

此题摘自"数学好玩"这本书
里面有很详细的证明过程

金眼睛

<P>今天又想了一下，发现用连分数的方法是可以证明的，证明如下：</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>连分数的辗转相除法请参考<A href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html">http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html</A></P>
<P>&nbsp;</P>
<P>前面说了，圆周率辗转相除法的计算结果为（3，7，15，1，292，……）</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>舍去292后的部分，得到355/113，换句话说，如果将355/113=3.1415929203539823……辗转相除的话，292的位置上为无穷大</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>设292位置上的数为a，且连分数计算到a这一位，这个连分数可以表示为（355*a+333）/（113*a+106）</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>整理后连分数即：355/113*(1-(106-333*113/355)/(113*a+106))，a为正整数的情况下，随着a的减小，这个连分数的值减小。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我们看到连分数的分母为113*a+106，a越小，则可以保证连分数的分母变小。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>比355/113同样接近pi并且a小的小数为：b=2*pi-355/113=3.1415923868256……</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>将其化为连分数，可得此时的a为145，（355*145+333）/（113*145+106）= 3.1415923837244……&nbsp;&nbsp; 已经小于b了</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>可见如果想让连分数接近pi的精度大于355/113，a至少为146，也就是说这个更好的连分数为：</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>（355*146+333）/（113*146+106）=&nbsp; 52163/16604</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>结论：如果当作证明题，已经证明了，a至少为145，也就是分母至少为16491，不仅如此，还可以求出下一个更好的连分数。</P>