[原创]我对魔方状态的思考——交换状态

邱志红

我对魔方状态的思考
——交换状态

该思考源于对魔方变换过程的思考，而非对魔方始末状态的思考。
看一个例子吧.

这两个状态的复原需要的步骤一样吗？当然是一样的，都是棱块的顺时针三交换嘛，用顺时针三交换公式即可，只是施加的方位不一样而已，这可以通过整体旋转魔方来解决。
这个简单的道理大家其实都明白，也经常有意无意地使用到它。其实大家看重的东西其实还是需要怎么交换，如何交换，而不是魔方实际状态。魔方实际状态只是用来辅助判断到底要怎么交换。
上面的例子简单，大家一眼就可以判断出来。下面来一个复杂的

它们两个的复原步骤也是一样的，魔方的颜色使了障眼法，大家一眼看不出来而已。忽略颜色，关注小块的交换过程，你就能明白这一点。
从上面的现象，我就抽象出了“交换状态”这一概念。
交换状态：魔方小块的交换情况。
这里的交换包括位置和色向的交换。魔方交换状态一样时魔方状态不一定一样。现在我们就来讨论一下交换状态与状态之间的关系。做一个很简单的实验，闭上眼睛打乱一个复原的魔方，经过一定步骤后，魔方被打乱。问魔方有多少种可能的状态？不要简单地答是一种，因为初始的时候，魔方整体的色向是随机的，有24种可能，不同的整体色向通过同样的转动步骤，得到的状态就可能不一样。马上改口答有24种，也是不冷静的。看看最简单的交换状态——一转，它只对应6种状态。所以具体情况还要具体分析。
依据我的XYZ系统，魔方的状态可以写成一个函数F（X，Y，Z,－X,－Y,－Z）。又由于X，Y，Z,－X,－Y,－Z之间的制约关系（叉积）。该函数可以简化为F（X，Y）。这里的X，Y，Z,－X,－Y,－Z并不是具体的颜色，只是代具体的颜色。
作一个变换，X’=m，Y’=n。
m，n∈{ X，Y，Z,－X,－Y,－Z }，且m≠±n。
那么F（X’，Y’）= F（m，n）。
由简单的排列组合，可以得到F（X’，Y’）就有24种排列组合。最多就可以对应24种状态。又由于魔方状态是小块的相对位置与色向的关系，所以就有可能存在相同的状态。由魔方的对称性，可以得到一种交换状态可能对应24，12，8，6，4，2，1种魔方状态。上面过程中所作变换过程其实就对应实践中的转换贴色，但贴色之间保持相对不变性。

一般不具对称性的交换状态就都对应24种状态。对应一种状态的交换状态就有“五色棋盘”了，12棱原地翻转。

它很特殊，不论怎么拿，用同样的步骤都可以复原。和复原态的对称性完全一样。

举例，对应12种状态的交换状态。

只给了一种状态，要大家提炼出交换状态，下同
举例，对应8种状态的交换状态（大小魔方）。

这样来看，魔方复原取决于状态，但更取决于交换状态。由魔方的对称性，我猜测，三阶魔方最远状态很可能是一种极对称的交换状态。“五色棋盘”就是一种极对称的交换状态，它对应的状态就一种，甚至我觉得它就是最远状态。为什么现在21步的状态迟迟没找到，原因可能是：20步就是最远的了。
也许以后有几个人发现了几个不同的最远状态，但很可能这些状态的交换状态是一样的。这些交换状态一样的状态，我想只能算一种。就像“伤脑筋的12块”一样，对称或旋转得到的都只算一种，看的还是块与块之间的接合状态。
中心块问题上，最对称的交换状态莫过于六个面心都原地顺时针（逆时针）转动90度了。我预言它极可能就是中心块问题的最远状态了。
接下来的难题就是计算交换状态有多少种排列组合。由于有重叠状态，状态数除以24肯定是行不通的。我现在也很忙，暂时也没有想出什么好方法。不知各位有何高见？
最后，对于一般魔方来说，同样也有“交换状态”这一提法，我没有时间研究了。

smok

哦

ggglgq

以下是引用大烟头在2005-12-24 19:42:57的发言：

这是个很好的研究课题。

如果三阶魔方只论“块”的相对位置，那魔方的总状态数又是多少呢？真的很难算出啊！

[em06]

这些帖子的内容及其计算，请大家参考 下面帖子的内容 及其 相关链接 。

以下是引用黑王子在2006-5-10 20:27:38的发言：

本人将G老师的程序运行结果整理以便分析比较:

旋转 180° 按一步计算
=========================================
完成态 1
第 1 步 2
第 2 步 5
第 3 步 19
第 4 步 68
第 5 步 271
第 6 步 1148
第 7 步 4915
第 8 步 18364
第 9 步 39707
第10 步 13225
第11 步 77
第12 步 0
=========================================
合 计 77802

旋转 180° 按两步计算
=========================================
完成态 ： 1
第 1 步 1
第 2 步 3
第 3 步 6
第 4 步 17
第 5 步 59
第 6 步 217
第 7 步 738
第 8 步 2465
第 9 步 7646
第10 步 19641
第11 步 28475
第12 步 16547
第13 步 1976
第14 步 10
第15 步 0
=========================================
合 计 77802

以下是引用ggglgq在2006-5-7 19:35:14的发言：

正六面体二阶魔方-48“同态”图解，提供公式 键盘输入 和 鼠标输入 两模式。

注： n 号位置镜像 是指： n 号位置为“后左上 0 位置”的“左右（对称）镜像”。

附件：调色工具，为大家配置自己喜欢的面块颜色。

ggglgq

以下是引用ggglgq在2005-3-10 8:14:25的发言：

我可以断言： 对于 正六面体三阶魔方 仅 旋转侧面（ 上、下、左、右、前、后 ） 90 度
算 1 步，正六面体三阶魔方的最远状态为 偶数 步！

关于我上面的“断言”，我过两天再给出简单的证明。年终的事很多，实在没有时间
老上网，只能让大家下次再看了，望各位魔友理解。

ggglgq

小邱 猜测可能“三阶魔方最远状态很可能是一种极对称的交换状态”是有道理的。

以下是引用宇宙飞碟在2004-5-28 10:53:08的发言： 怎么这两天有关《循环变换》的点击数[人气]这么低，为了提高《循环变换》[人气]，我又证明了《离初始状态最远的图案》的一个结论：
[定理] 设：三阶魔方的最长变换的长度为 x ，并设： a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即： A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任意一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，也存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 C ，
使得：A = B = C 。

感兴趣的网友对我的 [定理] 先发表一些看法或证明，然后我再给出结论吧，我想这样做是不是可能会增加点 [魔方吧] 的人气 及 大家对《循环变换》的关注和理解呢？[em07][em04][em07]

呵呵，这是“宇宙飞碟”小兄弟的定理的应用。说明 小邱 已经掌握了该定理的
实质内容，用一个比较形象的说法来实践上述定理。祝愿你能找到“最远状态”。

相关内容请大家参考 烟头 兄弟的 魔方的最远状态要几步复原。

Cube Explorer 的作者去年编写的这个软件还停留在一个“魔方状态” 用很多
类似的“交换状态”公式，不过今年他已经在类似的“交换状态”公式上下了很大的
功夫，争取 类似的“交换状态”公式 只用一个“公式”表示。大家可以试试该软件
与 以前版本 在 类似的“交换状态”公式 方面功能的 不同，我就不多介绍了。

祝愿 小邱 能进一步拓展“宇宙飞碟”小兄弟这个定理的应用范围，在其他异类
魔方中大展宏图。

邱志红

回2楼，乌木先生：

你的理解完全正确，其实魔方两个状态之间的转化就是魔方小块交换的过程，两个状态之间的长度就是交换状态的长度。

这就是为什么两个状态之间的转化可等价为复原的原因了。

大家平时讨论的最远状态其实是这里的最远的交换状态，而不是单纯的状态。相对复原态来说，存在一个（或多个）最远状态。但这个最远状态相对自身来说，又是最近状态了，此时的交换状态为不交换。

如果能总结出魔方所有的交换对称性，这个交换状态总数就不难算了。考试再即，无暇去总结了。

大烟头

这是个很好的研究课题。

如果三阶魔方只论“块”的相对位置，那魔方的总状态数又是多少呢？真的很难算出啊！

[em06]

乌木

看了感到蛮有趣，先谈点初步想法。

如果我在发java 图时，固定某套“需执行步法”不变，但让初态

魔方（例如六面复原的、颜色的相互方位已确定的魔方）取向不同，

即配色方法不同。因颜色的相互方位不变，故共有24种取向。那么，

执行那同一个步法以后，一般说来，得到24种“换汤（色）不换药

（花样的特征和规律等等）”的状态。进一步，还要具体状态

具体分析，能简并多少就简并多少。例如，“需执行步法”为“U”

时，24就简并为6。

我对邱兄所说“交换状态”的初步认识对否？