石头剪子布概率题(大家探讨一下)

R'cube

相信石头剪子布大家小时候一定都玩过，例如：甲和乙进行该游戏，谁赢谁就往前走几步!
先从简单的开始吧，那么题目是这样的：

1.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，他们各自赢得对方的概率都是1/2，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

2.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

3.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走π米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?(曾经在百度数学吧看到的这第三题)

关于题目的解释，所谓首次是这个意思：比如乙从一开始就赢了甲，乙超过甲1米，游戏结束；又比如甲一开始赢了乙，那么乙需要连续赢得甲3次来超过甲；如果甲连续赢得乙2次，那么乙需要连续赢5次来超过甲。。。。到这里大家可能就发现了，这道题的概率是无穷项可能的情况叠加所得的和。。

正如大家所想的那样。。。这就是这道题最难的地方，鉴于第1题中他们各自取得胜利的概率是相同的，在中间比赛的时候，可以不考虑中间过程的排列组合问题。这是什么意思呢，我们拿甲赢得乙两次，乙赢得甲5次的情况来分析，为了保证这个情况的实现，可以有以下几种组合的情况：

①甲先赢乙一次，接着乙赢得甲一次，甲再赢乙一次，最后乙通过连续4次取胜来超过甲；
②甲直接先赢两次，则乙通过连续赢甲5次来超过甲
对于概率为1/2的时候，其实我们只要考虑总的情况就可以，永远是(1/2)^7，但是对于第二题而言，由于各自获胜概率不同，还要考虑到①②两种排列组合的概率。。。这就大大增加了难度

至于第三题，甲走的距离都出现了无理数π。。。那么可想而知乙要超过甲不再是简单的距离叠加来算了

第一题其实是很简单的。。2，3题非常有难度。。。大家可以互相探讨一下~~~~(打字累哦 )

喝着牛奶数星星

正在思考当中。。。。。

绿雨

囧……楼上怎么算的？？

阿亓儿

啊 概率呀 好 我来看看 呵呵

狒狒

这个些东西太费脑力了吧，还是留给数学家吧  呵呵

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-1-31 23:48 发表
满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

呵呵确实是这样，我也刚发现，正准备来改的，发现你已经指出来了

第三题貌似不能用这个方法了，晕啊……

lulijie

33楼的解答非常对头，纠正那个错误后，就可得出
a(n)=(√5-1)/2  * [ (-1+√5)/2]…^n
a(0)=(√5-1)/2.
第二题也可这样做出。但第3题遇到无理数，就不能这么做了，有什么其他巧招么？

---------------------------------
第二题让电脑模拟计算的概率为               0.366025403784439
而用概率递推方法算出的概率为(√3-1)/2=0.3660254037844386467      
     答案一模一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-1 00:23 编辑 ]

lulijie

满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

Cielo

我凑出来的结果不对 ，还是把想法写在下面吧：

将第一题变化一个形式：数轴上有一个点，各有1/2的概率向右走2 单位长度或者向左走 1 单位长度。
设从 n 出发能到 -1 的概率是a(n)，有 a(-1) = 1，a(∞) = 0
且满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
我们的目标是求 a(0)

递推式 a(n+1)= 2 a(n) - a(n-2) 的特征方程是 x^3 - 2x^2 + 1 = 0
解得 x = 1 或(1±√5)/2，记 α =(1+√5)/2，β =(1-√5)/2
用待定系数法设 a(n) = i α^n + j β^n + k，这里 i、j、k 待定

令 n = ∞得 i =  k = 0，又令 n = -1，得 j = β
于是 a(0) = j =(1-√5)/2 = -0.618……

但是结果显然只能是正的 ，估计是通项设得有点问题吧，希望大家帮我指出错误！

lulijie

一般情况，甲赢的概率为P，甲赢了前进X米，乙赢了前进1米，
那么乙超过甲的概率：
若甲赢了n次，那么乙必须赢YiWinNum(n)= clng(n*X)+1 ，                     clng() 表示取整函数。
那么这种情况的概率可表示为A(n)=  K(n) * p^n * (1-P) ^ ( clng(n*X)+1)， K(n) 表示 甲赢n次且乙赢  clng(n*X)+1 次的情况总数。

  设WeiNum = YiWinNum(n) - YiWinNum(n - 1) + 1
那么以下递推公式可求出K(n)的值
  K(0) = 1
  K(1) = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  K(n) = Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum, n)                  Combination(,)表示求组合数。
  For i = 0 To n - 2
       K(n) = K(n) - K(i) * Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum - YiWinNum(i) - i, n - i)
  Next i                                                                       （n>=2）
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
求出了K(n)的通项，就可求A(n)的通项的和S(n)。
概率就等于S(n)当n趋向无穷的的极限。