求直径

yzsjw0

弦a将圆分成两部分，两部分的面积之比是１：２。求直径。

whitetiger

以下是引用ggglgq在2006-6-5 20:08:42的发言：

如果把楼主的题目改成下面两道题，题目反而变得简单了！

一、直径为 a 的小圆将球分成两部分，两部分（小球冠、大球冠）的（球面部分的）面积之比是
１：２ 。 求球的直径 ？

二、直径为 a 的小圆将球分成两部分，两部分（小球冠、大球冠）的体积之比是 １：２ 。
求球的直径？

有兴趣大家可以试试看！两题的答案都是 无理数 ，而不是 超越数 了！

一、球冠面积公式：S=2πRh

小球冠的面积是整个球面积的1/3，h=2R/3。

球直径D=(3√2/4)a。

二、球冠（球缺）体积公式：V=π(h^2)(R-h/3)

小球冠（球缺）的体积是整个球体积的1/3，要解三次方程：

3(h^3)-9R(h^2)+4(R^3)=0

能解，但是结果比较复杂。

另，超越数仍然是无理数的一部分。

与超越数相对应的叫“代数数”。

ggglgq

如果把楼主的题目改成下面两道题，题目反而变得简单了！

一、直径为 a 的小圆将球分成两部分，两部分（小球冠、大球冠）的（球面部分的）面积之比是
１：２ 。 求球的直径 ？

二、直径为 a 的小圆将球分成两部分，两部分（小球冠、大球冠）的体积之比是 １：２ 。
求球的直径？

有兴趣大家可以试试看！两题的答案都是 无理数 ，而不是 超越数 了！

乌木

这就叫“新潮”吧（至少对我来说是这样）？也就是说，连编程之类的工作都不必做的，这类“事务性”工作交给电脑的现成软件（如功能强大的EXCEL之类）做即可。高！我是动了笔和计算器的，要是在以前（例如上世纪七十年代吧），连计算器在国内也是稀罕物（要紧的是“大革文化命”啊），一般数表或计算尺的精度也有限的很，精度高一点的手摇计算器我单位仅少数教授可用，一般人真不大好办呢。

[此贴子已经被作者于2006-5-29 16:59:18编辑过]

whitetiger

以下是引用Cielo在2006-5-28 21:13:22的发言：

厉害！能想到用切线法来求根的近似值。

[em17]

只要学过高等数学的，都应该知道这个方法的，没什么奇怪的。

我是懒得动笔了，开了个EXCEL，做了个公式，然后在单元格里调整数值，得到的近似值。

乌木

噢，您这一说，我记起来了，f '（θ ）是切线的斜率。这样，如何理解那式子的第2项 （- f /f '）的意义就有点眉目了。这方法是书上介绍的。也许现在用电脑编程求解的话，另有他法吧？

Cielo

厉害！能想到用切线法来求根的近似值。

[em17]

乌木

一面请教，一面继续找书，总算找到，说是要用迭代法解，此题可用近似求解的牛顿法求得θ的近似值。

先在图解法中估计θ 。≈2.6 ，则f（θ 。）＝sinθ 。- θ 。＋2π/3 ，

f ’（θ 。）＝cosθ 。- 1 ，然后得到 θ 1＝θ 。- 〔f（θ 。）/f ’（θ 。）〕≈2.60532960 ；

再用 θ 1代替 θ。求得 θ 2＝θ 1 -〔f（θ 1）/f ’（θ 1）〕≈2.60532568 。

必要时还可继续迭代下去。

乌木

[em17][em17]

不过，您得帮忙帮到底，帮帮我这遗忘症患者。θ-sinθ=(2/3)π ，我忘了如何解。

sinθ＝ θ - (2/3)π ，左对应于正弦曲线y1＝sinθ，右对应于直线y2＝ θ - (2/3)π，两者的交点即对应于θ的解。可这是“定性”的“图像”，定量地，θ＝？怎么算？忘得干干净净了呀。再次请教。

whitetiger

乌木做得复杂了！

(1/2)(R^2)sinθ+(1/3)π(R^2)=(1/2)θ(R^2)

消去R^2，得：θ-sinθ=(2/3)π

θ≈2.60532568≈147.3°

然后根据a=2Rsin(θ/2)，得到：R=0.51853a。