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求直径 [复制链接]

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智力游戏设计大师 八年元老 十六年元老

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发表于 2006-5-25 07:26:56 |只看该作者 |正序浏览
弦a将圆分成两部分,两部分的面积之比是1:2。求直径。

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发表于 2006-6-7 14:02:17 |只看该作者
以下是引用ggglgq在2006-6-5 20:08:42的发言:


如果把楼主的题目改成下面两道题,题目反而变得简单了!

一、直径为 a 的小圆将球分成两部分,两部分(小球冠、大球冠)的(球面部分的)面积之比是
1:2 。 求球的直径 ?

二、直径为 a 的小圆将球分成两部分,两部分(小球冠、大球冠)的体积之比是 1:2 。
求球的直径?

有兴趣大家可以试试看!两题的答案都是 无理数 ,而不是 超越数 了!

一、球冠面积公式:S=2πRh

小球冠的面积是整个球面积的1/3,h=2R/3。

球直径D=(3√2/4)a。

二、球冠(球缺)体积公式:V=π(h^2)(R-h/3)

小球冠(球缺)的体积是整个球体积的1/3,要解三次方程:

3(h^3)-9R(h^2)+4(R^3)=0

能解,但是结果比较复杂。

另,超越数仍然是无理数的一部分。

与超越数相对应的叫“代数数”。

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魔方理论探索者 十年元老

12#
发表于 2006-6-5 20:08:42 |只看该作者


如果把楼主的题目改成下面两道题,题目反而变得简单了!

一、直径为 a 的小圆将球分成两部分,两部分(小球冠、大球冠)的(球面部分的)面积之比是
1:2 。 求球的直径 ?

二、直径为 a 的小圆将球分成两部分,两部分(小球冠、大球冠)的体积之比是 1:2 。
求球的直径?

有兴趣大家可以试试看!两题的答案都是 无理数 ,而不是 超越数 了!

~~ 宇宙在旋转运动 ~~ 魔方在循环变换 ~~

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发表于 2006-5-29 16:29:59 |只看该作者
这就叫“新潮”吧(至少对我来说是这样)?也就是说,连编程之类的工作都不必做的,这类“事务性”工作交给电脑的现成软件(如功能强大的EXCEL之类)做即可。高!我是动了笔和计算器的,要是在以前(例如上世纪七十年代吧),连计算器在国内也是稀罕物(要紧的是“大革文化命”啊),一般数表或计算尺的精度也有限的很,精度高一点的手摇计算器我单位仅少数教授可用,一般人真不大好办呢。

[此贴子已经被作者于2006-5-29 16:59:18编辑过]


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发表于 2006-5-29 11:45:15 |只看该作者
以下是引用Cielo在2006-5-28 21:13:22的发言:

厉害!能想到用切线法来求根的近似值。

[em17]

只要学过高等数学的,都应该知道这个方法的,没什么奇怪的。

我是懒得动笔了,开了个EXCEL,做了个公式,然后在单元格里调整数值,得到的近似值。

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发表于 2006-5-28 22:55:38 |只看该作者
噢,您这一说,我记起来了,f '(θ )是切线的斜率。这样,如何理解那式子的第2项 (- f /f ')的意义就有点眉目了。这方法是书上介绍的。也许现在用电脑编程求解的话,另有他法吧?

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透魔

有空了学学4D二阶

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魔方破解达人 八年元老

8#
发表于 2006-5-28 21:13:22 |只看该作者

厉害!能想到用切线法来求根的近似值。

[em17]

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发表于 2006-5-27 09:37:19 |只看该作者

一面请教,一面继续找书,总算找到,说是要用迭代法解,此题可用近似求解的牛顿法求得θ的近似值。

先在图解法中估计θ 。≈2.6 ,则f(θ 。)=sinθ 。- θ 。+2π/3 ,

f ’(θ 。)=cosθ 。- 1 ,然后得到 θ 1=θ 。- 〔f(θ 。)/f ’(θ 。)〕≈2.60532960 ;

再用 θ 1代替 θ。求得 θ 2=θ 1 -〔f(θ 1)/f ’(θ 1)〕≈2.60532568 。

必要时还可继续迭代下去。

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6#
发表于 2006-5-26 18:55:18 |只看该作者

[em17][em17]

不过,您得帮忙帮到底,帮帮我这遗忘症患者。θ-sinθ=(2/3)π ,我忘了如何解。

sinθ= θ - (2/3)π ,左对应于正弦曲线y1=sinθ,右对应于直线y2= θ - (2/3)π,两者的交点即对应于θ的解。可这是“定性”的“图像”,定量地,θ=?怎么算?忘得干干净净了呀。再次请教。

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发表于 2006-5-26 14:39:48 |只看该作者

乌木做得复杂了!

(1/2)(R^2)sinθ+(1/3)π(R^2)=(1/2)θ(R^2)

消去R^2,得:θ-sinθ=(2/3)π

θ≈2.60532568≈147.3°

然后根据a=2Rsin(θ/2),得到:R=0.51853a。

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