比较麻烦的几何题

jx215

大圆O内有四个半径都为r的小圆O1、O2、O3、O4，分别与大圆相切。大圆半径为R。四个小圆分别在大圆上移动，假定圆与圆可以重叠，求，四个小圆圆心连线围成的图形面积最大值。

咖啡味的茶

估计是初一的题目。首先切点，两个圆心共线，所以题目变成圆上四个点，求四边形最大面积。然后，连接对角线，作两个三角形对角线边上的高。底边固定，当两高最大值面积可以最大。所以另外一条对角线是圆直径。原对角线垂直于该直径。同理可证，原对角线也为直径。

咖啡味的茶

估计是初一的题目。首先切点，两个圆心共线，所以题目变成圆上四个点，求四边形最大面积。然后，连接对角线，作两个三角形对角线边上的高。底边固定，当两高最大值面积可以最大。所以另外一条对角线是圆直径。原对角线垂直于该直径。同理可证，原对角线也为直径。

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-3-12 22:40 发表
n个角的正弦的和的最大值，这n个角的和等于360度。...

答案是每个角都是 360°/n，这个可以由正弦函数是上凸函数来证。

当然，后面那个证法更好啦

kexin_xiao

都是高中知识吧，太遥远了，呵呵

wgsjack199213

平面四边形的面积等于对角线的乘积乘以其夹角的正弦
夹角正弦最大是sin90
每条对角线最大为2R-2r
所以很好解决
我高二 喜欢面积法

jx215

原帖由 aben306 于 2009-3-12 21:47 发表
这个题目是初三的几何题哦.应该到学习论坛去发一下呵.

假如中考出这么一题，得分率不知会怎样？：）

jx215

经4楼分析确实不难。
圆内接四边形以正方形面积最大。

tonylmd

圆内正N边型 N越大越逼近圆 面积越大

lulijie

5楼的思路1：
S=1/2*(R-r)^2*(sin角1+sin角2+sin角3+sin角4)
恰好sin角1、sin角2、sin角3、sin角4，都取最大值1时，S最大，即每个角都等于90度。
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这个思路对于圆上4个点，可行。
但若是3个点、5个点，或一般情况的n个点，
那么这种思路就是求，n个角的正弦的和的最大值，这n个角的和等于360度。
答案就没有那么显而易见了。
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题目：求圆上n个点，组成的图形的最大面积S。     
判断：当且仅当n个点组成正n边形时，面积最大。
我觉得这样思考比较好。

假设圆上的n个点组成的面积已经是最大了，那么对于其中任何一点，比如A，与它相邻的两点是B、B‘，那么，A点必在BB’的垂直平分线上。
          因为如果A点不在BB’的垂直平分线上，那么作BB’的垂直平分线，与圆的交点为A‘，因为面积BA’B‘比BAB’大，
          所以    用A‘代替A，组成的新的图形面积必比原先的大，与题意矛盾。
同理，其他各点也必在其相连的两点组成的线段的垂直平分线上。
只有当这n个点组成正n边形时，才满足上述的条件。
所以上述判断成立。