令人绝望的棺材问题

yang_bigarm

据说由于某些原因，前苏联数学界最负盛名的莫斯科大学数学力学系曾经有一段时间拒绝接收犹太民族的学生入学。
然而这件事又不能明着干，于是就在考试的时候做些手脚；然而犹太籍的学生都很聪明，笔试的时候考分都奇高，
于是学校的领导们决定在面试（口试）的时候让他们落马，让教授们精心设计了些极富有技巧的问题，这些问题可以
在面试的时候提出，因为几句话的功夫就可以把解答说清楚，然而这些问题又不那么容易想到，于是这类问题被
称作是“棺材问题“，也就是说，如果你面试的时候遇到了这样的问题，你就好像掉进了钉上钉子的棺材里了，
注定跟莫斯科大学无缘了，呵呵。

---------------------------------------------problem-------------------------------------------------------
空间中的一个四边形，每一条边都和一个球相切。
求证：四个切点在一个平面上。
-------------------------------------------------END-------------------------------------------------------

Cielo

尽管我还没到惊呆了的程度，不过解答确实非常漂亮！

yang_bigarm

棺材问题的解答：

如果把ABCD看作是4个质点的话，那么整个图形的中心在哪里呢？

AB的重心在E点，CD的重心在G点，整个图形的重心在EG连线上；
同理，整个图形的重心在HF的连线上，于是 EFGH 4个切点共面。

-------------------------------END-----------------------------------

当时对这样的证明，我简直惊呆了。

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-3-31 22:51 发表


那么久了，还记得3点共线的梅涅劳斯定理，看来你原来是搞过奥数的吧。
今天查了一下《数学名题辞典》，重新看了一下这个定理，它是3点共线的充要条件。

呵呵是搞过奥数，要不肯定不知道这种东西

yang_bigarm

原帖由 Cielo 于 2009-3-30 22:28 发表


谢谢！
其实这个我也想了很久……还好平面几何的东西还记得一点点。

嗯期待大家继续找出更精彩的证明！

那么久了，还记得3点共线的梅涅劳斯定理，看来你原来是搞过奥数的吧。
今天查了一下《数学名题辞典》，重新看了一下这个定理，它是3点共线的充要条件。

zhy3729

不会!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-3-30 22:21 发表
精彩的证明，但还不是最精彩的。

谢谢！
其实这个我也想了很久……还好平面几何的东西还记得一点点。

嗯期待大家继续找出更精彩的证明！

yang_bigarm

原帖由 Cielo 于 2009-3-30 15:13 发表
基本只需要用到平面几何的知识吧！

如图，四边形ABCD（想象是空间四边形好了），切点为E、F、G、H，
与球相切意味着：AB+CD=AD+BC，AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，

情形1：EH∥BD，此时AB=AD，=> CB=CD => F ...

精彩的证明，但还不是最精彩的。

yang_bigarm

原帖由 ggglgq 于 2009-3-30 03:00 发表

　　这道题并不难！ 利用高中立体几何知识就可 ...

解答是不难，但绝对不那么容易想到
你要注意这个可是大学入学的时候面试的问题哦，给你20分钟在黑板画图和推导能讲明白吗？

Cielo

基本只需要用到平面几何的知识吧！

如图，四边形ABCD（想象是空间四边形好了），切点为E、F、G、H，
与球相切意味着：AB+CD=AD+BC，AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，

情形1：EH∥BD，此时AB=AD，=> CB=CD => FG∥BD => FG∥EH => EFGH共面；
情形2：EH不平行于BD，也有FG不平行于BD（否则由情形1知 FG∥BD => EH∥BD）
设 EH∩BD=I，FG∩BD=J，
由梅涅劳斯定理：BI/ID*DH/HA*AE/EB=1，BJ/JD*DG/GC*CF/FB=1
两式相除并结合已知条件，有 BI/ID=BJ/JD，从而 IJ 重合，EFGH 都位于平面 IEF 上，即共面。