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我来完整的用数学归纳法来证明,其实我在前面的思路中已经提到了证明。
证明:若n值满足 2^k<=n<2^(k+1),那么a(n) 都可表示成 p/(q*2^k) 的形式。 其中 p、q是奇数。
换句话说,a(n)可表示成 p/(q*2^k) ,其中 p、q是奇数,k= [ ln(n)/ln2 ] ,[ ] 表示取整函数。
1. n=2时,a(2)=3/2 ,k=1, 显然成立。
2. 假设n值满足 2^k<=n<2^(k+1)时, a(n) 可表示成 p/(q*2^k) 的形式。其中 p、q是奇数。
那么 , 2^k<n+1<=2^(k+1) ,把它分为两个情况
第一种情况:2^k<n+1<2^(k+1)
第二种情况:n+1=2^(k+1)。
对于第一种情况:不等式都除以2^k,得到 1<(n+1)/2^k<2。
所以(n+1)/2^k 不是整数,即n+1 中含2的因子个数小于k。所以n+1可表示成 r*2^m,其中r是奇数,m<k。
这样,a(n+1)=a(n)+1/(n+1)=p/(q*2^k)+1/( r*2^m)= ( p*r+q*2^(k-m) ) / (q*r*2^k) 。很显然分子为奇数,分母为奇数和2^k的 乘积。因为 2^k<n+1<2^(k+1) ,当然满足2^k<=n+1<2^(k+1) , 即a(n+1)也可表示成 p/(q*2^k) 的形式。
对于第二种情况:
a(n+1)=a(n)+1/(n+1)=p/(q*2^k)+1/(2^(k+1))=(2*p+q) / (q*2^(k+1)) ,分子为奇数,分母为奇数和2^(k+1)的乘积。
因为 n+1=2^(k+1),我们设k‘=k+1, 所以 2^k'<=n+1<2^(k’+1)条件满足,而a(n+1)显然可表示成 p’/(q‘*2^k‘) 的形式。其中 p’、q‘是奇数。
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综上所述,假设 n值满足 2^k<=n<2^(k+1)时, a(n) 可表示成 p/(q*2^k) 的形式。其中 p、q是奇数。
那么可推出a(n+1)也成立。
所以命题得证。
[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-4-1 21:26 编辑 ] |
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