CFOP背后的数学定理

wyn1992

    三阶魔方在对完前两层时，OLL情况为57种，而顶面翻角棱情况按概率法算是2四次方乘以3的四次方,共1296种,为什么成了57种了呢
    早些时候人们在还原时发现,有些理论上存在的情况，可在还原时却怎么也遇不上，比如在前两层还原时，顶面不可能出现一个或三个棱翻上去的情况，而在顶面十字架成后，用概率算有81种，可实际遇见的只有七种，所以棱块和角块的翻角情况必然有他的规律，那么规律是什么呢？
       数学家卡希尔和西斯梅尔【音】，从魔方的整体上考虑，用数学方法成功的证出来了棱块角块的翻角定律，那就是--一个魔方【六轴的】，它在正常状况下，棱块翻角之和只可能为180°的整数倍，角块翻角之和只可能是360°的整数倍。所有六轴魔方都遵循这两个定理，你可以这样试一试，把三阶魔方的有白色面的块的放到白中心块所在层，把中层棱块放到自己原来的位置【不需处于还原状态】，这样做方便于观察，你就会发现，角块翻角之和和棱块翻搅之和符合上述公式。
    由于棱块只可能翻90°，所以棱块翻下去的只能是偶数个，也就基本否定了三阶魔方中OLL是，一个或三个棱块翻上去的情况，只有可能出现┕和一字或十字的情况，所以在中层有一个棱块正好错位，那再拼顶层时翻上去的棱块必为奇数个，这就是棱块翻角定律的作用
    这样两个公式对魔方CFOP有重要意义，它把概率上顶层翻角情况由1296种一下子压缩到58种【去除一种还原状态，为57种】，这就使一次顶面翻色【OLL】所背的公式量达到人所能接受的程度【57个】
    那么，知道了这两个公式，你自己能否推出OLL所有57种情况呢？这里个大家一个小小的提示   
   由于棱块只能翻一下，所以说比较简单，这里不介绍，这里只介绍角块的情况。一个角块翻上去另外三个角块情况有两种，像Gan公式的26，27一样。两个角块翻上去，有两种，即同侧和对侧，不存在三个角块翻上去的情况。
   这里制作最简要的提示，目的是引起大家的思路，让大家自己去推，自己推更能加强大家对OLL57种情况的理解，对观察也是很有帮助的
   最后还有一个数学定理，就是--在奇数阶魔方中，不可能出现一组棱块或一组角块单独对调的情况，这个定理也很重要，这使得用概率法算出来的有144种情况，下降到22种【去除一种还原状态，为21种】
   正是有了这几个定理，使得CFOP方法得到普及，如果没有证出棱角快翻角定理，想要公式量到大家能接受的数量，OLL也不知道要几步完成。
   

[ 本帖最后由 wyn1992 于 2009-4-4 22:10 编辑 ]

AndrewHuang

理解理解
多谢了~~

乌木

下两层复原后，顶层的状态总数确实很多。如果是顶层四个角块和四个棱块随机组装的话，其中四个角块和四个棱块色向的变化数，确实是3＾4×2＾4＝1296；但由转魔方的方法，因受“色向和为零”规律的限制，四个角块和四个棱块色向的变化数就只有3＾3×2＾3＝216。不过，这216种情况并非都要给出OLL公式的，魔方可以整体旋转，故可以合并一些相同情况，这样，角块要翻色的情况只有8种，棱块要翻色的情况也只有8种，两者组合数8×8＝64种。这64种之中，有几个是重复的，有一个是已经顶面同色，即已经完成OLL了，所以只要给出57个OLL公式足够了。详见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872

到了PLL阶段，顶层四个角块和四个棱块的位置随机组装的话，位置变化数是4！×4！，但是，由转魔方的方法得到的位置变化数，因受“不能单单交换两个魔方块”规律的限制，只有4！×4！/ 2＝288。同样，不必给出288个PLL公式的，经过转顶和魔方整体旋转，可以合并一些情况，再扣除几种角块、棱块位置相对而言已经正确的情况，最后精简为21个PLL公式。不过，从288精简为21的具体过程，我还说不清，大家补充。

热火随寒

以前只知道背，现在有点明白了！

laotian

的的确确的，知识就是力量啊

zihansh

看上去，说的不错，但有点晕。

biao1023

很深奥，但是很有趣~~~~~~谢谢分享

263641978

好强.......................

zhang197695

学完这一贴，又让我长知识了！

ic4473533

嗯，说得好！！收获不少！