浅谈4.3×10^19

乌木

六个中心块的相对位置关系不可能变，有一种观察方法是把坐标系建在中心块上，这样，它们对于魔方花样总数无贡献。
转动魔方时，角和棱的变化有多少种？

8个角块，位置有8个，位置不同（不管色向）引起的角态总数为8！种；每个角块有3种不同的颜色朝向，但角的色向不同引起的总数不是3^8种，而是3^7种。因为每次转定了7个角块的方向后，第8个角块的方向就定了，无法单独改变第8个角块的颜色方向（而不影响前7个角块的色向）。

12个棱块，12个位置，位置不同（不管色向）引起的棱态总数为12！（有人说“ 11个棱块也决定第12块的位置，故应为12!×1 / 2 ”，不妥！角块、棱块位置方面的总数要除以2，该另行解释）；每个棱块有2种不同的颜色朝向，但棱的色向不同引起的总数不是2^12  ，而是2^11。因为每次转定了11个棱块色向后，第12个棱块的方向就“死定了”，无法单独改变它。

待续

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-16 21:00 编辑 ]

乌木

此题后来我另写了一帖：http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1

juventus66

感谢分享,学习了

乌木

状态总数式子的解释蛮难的，今天在另一帖（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5938&extra=&page=1）的跟帖中我又试着解释了一下，转贴于下：




不少介绍魔方的资料都有这个算式，其深入浅出的解释，我记得好像还是“占星”贴出过的那些话，一时找不到。

该式的分子表示：六个中心块不动，8个角块和12个棱块随机组装的状态总数。8个角块放入8个角的位置和12个棱块放入12个棱的位置的放置法的总数当然是8！×12！；角块有3个色向，棱块有2个色向，所以棱角随机组装的总数还要乘以3^8×2^12。

问题是，这么多随机组装出来的花样中有许多是一个正确魔方拧不出来的。分析如下：

角块的色向来说，前7个角块拧好之后，最后一个角块的色向，根据魔方转动的规律，就没有3种选择余地了，只能根据前7个角块的色向如何而呈现一种色向（当然是其三种色向之一，具体是哪一色向？此处略），这样，必须排除2/3，留下1/3，故分母上有个“3”。

棱块的色向来说，前11个棱块拧好之后，最后一个棱块的色向，根据魔方转动的规律，就没有2种选择余地了，只能根据前11个棱块的色向如何而呈现一种色向（当然是其两种色向之一，具体是哪一色向？此处略），这样，还要排除1/2，留下1/2，故分母上有个“2”。

分母中还有一个“2”的解释：在棱角随机组装数中，与位置布排有关的因子“8！×12！”也不是都能由正确魔方拧出来的。根据魔方转动规律，合计20块的棱和角靠转动布排到最后两个块（或是两个棱块，或是两个角块，无所谓）时，它俩面对着两个空位，布排方式并没有两种选择！必须根据前面18个块的布排情况如何而只能呈现两种排法之中的一种排法，不能更换为另一种（具体是哪一种？此处略，但可以理解为不能单单互换两个块），这样，又要去掉一半数目。

可见，随机组装态只有1/（3×2×2）＝1/12的概率是可以经过转动魔方而复原的态。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-16 21:13 编辑 ]

乌木

人们常用快速数数历遍某一大量事物的方法来描述其巨大。如果一年算31556926秒，你不妨算算：假如一秒钟能数1000个态，要数完4.325×10^19个态，是不是要花上约14亿年！

乌木

想想此事还有奇妙之处。单独一个魔方变换出来的花样数目之巨，已经令人不可思议。可是，这么多的花样只是依靠少得可怜的18种动作（UU'U2RR'R2…………）做出来的！任何一个花样要复原的话，只要寥寥几个、几十个公式，最多记上几百个吧；甚至掌握一定规律后只用“一式解万方”。相对于那么巨大的天文数字，复原过程可以说是“以不变应万变”啊！这还是人工复原；据说，理论上认为魔方的最远态仅22步左右，而且最远态这一代的数量还不是最大的，大多数的态距离初态仅十几步。一代一代排列起来呈一种“大肚”状。在“魔方”身上同时蕴含着“多”与“少”！联想到今日宇宙起源于当初极小空间（对吗？）的大爆炸，似乎有某种共同之处。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-1-3 15:20 编辑 ]

乌木

补充：那些“魔方沙”堆积出的大立方体或金字塔可都是实心的，如果像普通沙子那样乱堆，内部有许多空隙，则体积将更大！

乌木

为了对一个魔方的状态总数之巨大有个大致的感性认识，还可以设想把上述4.3×10^19粒“魔方沙”（每一粒为1立方毫米）整齐、紧密地码放到一个房间内，看看这个房间要多大。

1立方公里等于10^18立方毫米（没错吧？），43立方公里就是4.3×10^19立方毫米；如果一个房间的容积尺寸为3.5公里×3.5公里×3.5公里，它小于43立方公里，还装不下这么多的“魔方沙”！

最大的胡夫金字塔的原体积约为25832 . 8立方米（该金字塔原底边长230米，原高146.5米，其体积没算错吧？）；43立方公里就是43×10^9立方米，它约等于1664550座胡夫金字塔！如果按照43.25×10^9计算，约为1674228座胡夫金字塔。大概说起来就是167万座胡夫金字塔。

没算错吧？结果真有点不可思议！

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-15 20:09 编辑 ]

乌木

为了对一个魔方的状态总数之巨大有个大致的感性认识，不妨想想这一比喻：

比中国面积还要大的 1千万平方公里等于1×10^19平方毫米（没算错吧？）；三阶纯色魔方的状态数约为 4.3×10^19；假想一个魔方缩小到1立方毫米，有如一粒沙子般，把同一魔方的多于4千亿亿个状态的“魔方沙”紧挨着平铺一层，其面积比4个中国面积还要大。

在如此巨大的“魔方沙”的海洋中，在如此众多的数量中，您找不出两粒完全一样的状态！

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-15 20:07 编辑 ]

子非鱼

此贴要收藏，进一步研究，顺便帮乌木兄顶，期待更深的研究和收获。