[原创]对称性与魔方

rongduo

对称性与魔方

我以为，对称性是魔方的灵魂。任意一种魔方理论，比如可以是唯象的（拟经验的）、也可以是非唯象的或演绎的，可以是群论观点的、也可以是排列论观点的，等等，但都不能无视对称性的存在。远离对称性其行必然也不远。

对称具有一定的复杂性。这有两层意思：一是我们通过直观察觉到的或在中学数学中学到的对称性，仅仅只是较少的一部分。就普通三维空间（还不包括时间或多维空间）而论，基本的对称就有十几种之多。举例说，你和镜中的你是一种对称，你和站在你对面的孪生兄弟又是另外一种对称；而对面那个孪生子如果他高兴用头倒立，那又是一种很不同的对称了。至于由基本对称复合而成的更复杂对称更是不计其数。其二，对称在很多时候并不一目了然。未被转乱的魔方的图案和其它某些魔方图案具有明显的对称性，但一个被完全“转乱”的魔方其实也有着“严整”的对称性。这后一类对称因其不易察觉，就需要借重于数学来分析描述了。

不考虑中心块，直觉上看，我们从对称的初始状态出发，任意一次转动都保持着一定的对称性：8个方块分为两组被对称地移动了。很难想象最初的对称经过很多次对称的转动后，能够忽然变得不对称了！

对称的图案在数学上常常称为偶置换。易知转动正负90度，8个方块形成两组轮换；转动180度，8个方块分两组形成两两对换。而这两组轮换和两两对换，从数学的角度来看可以划归为同类：都叫作偶置换。初始状态图案被称为零置换，也是一种偶置换。一个偶置换加上一个偶置换，其结果仍是一个偶置换。对称性就这样被保持或继承下来了——这不是臆想，而是经过严格证明的东西。

有两个被人们反复提及的实例，认为似乎可以用来反驳对称性：三方块的轮换和三个角块的扭转。前一疑难我已不止一次地分析过 （《魔方组合原理》中有，另见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3149&page=1一楼）。后一疑难在《魔方组合原理》中也有论述，这里我想换一个角度来思考。

按照对称性的原则（跷跷板原理其实是对这一原则的形象性的说法），角块A发生正120度扭转，必有一角块B扭转负120度。现在假定某些转动使得某一角块C与B发生关联扭转，且C正好扭转了正120度，B则只好再扭转负120度——我们知道，两次扭转负120度相当于一个正120度的扭转。这样A, B, C三块此时皆扭转了正120度——这就是所谓的三块同向扭转的难题。由以上分析可知，这仍然是对称性的表现，只不过是一种隐藏的对称性。

群论是研究对称的利器，有人甚至把它称为“关于对称的数学理论”。仅用群论（连跷跷板原理也不需要）就可以很好地描述魔方（见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3176&page=1），但这需要一定的知识基础，所以不易普及。跷跷板原理可以填补普及的空档（且不失严密性），它的理论作用在于能把复杂的群论遮挡起来，就好像我们用视窗屏幕把计算机内部的复杂性屏蔽起来一样。

真诚地希望有更多的魔友能从对称性的角度重新审视魔方，又希望没有机会学习近世代数的朋友尝试读一点关于对称的普及读物。比如《时间简史》（霍金）第五章，《可怕的对称》（阿·热）以及李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》等。这些书中虽然没有我们所要的现成的答案，但足以启人心智，使我们对对称的认识达到一个新的境界。

ggglgq

　　
　　
　　
  
    这是在六年前就发表过的帖子了。没有想到当时我和楼主是那么的投缘，竟然
  
都对利用“群论研究魔方的对称性”感兴趣。当时楼主的帖子我都读过，对于楼主
  
当时的处境深表同情（对于当时多数帖子，虽然我没有回帖，但不代表我不关注）：
  
    http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3196
  
   
    六年（话说我在七年前就已经发现了，有证据的哦）后的今天，人们才发觉
  
我们的想法被一一证实了。楼主理论的正确性自不必说 （请大家无视那位所谓的
  
“专家”  smok 的片面说辞，他只会片面吹捧  ★ N阶正方体魔方变换理论区 ★  
  
版主，没有资格评论别人），到目前为止至少对 正六面体 二阶、三阶 魔方 来说，
  
9 楼关于 48 自同构 及 最远状态 的说法已经被证实是正确的了。 虽然很多魔友
  
被这里的“专家”误导很多年了，比如 乌木 可能就是其中的一位，我为其花了 100
  
余楼 解释 48 自同构，乌木 竟然一点都听不进去，还要不断发表其错误观点：
  
    http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6220
  
    http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... &authorid=93&page=2
  
其错误观点又在不断误导他人，并 直接致使 他人对原本是正确的帖子产生怀疑：
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... 0&page=11#pid831304
  
但是 是金子总会发光的，48 自同构 及 最远状态 的说法已经多次被证实是正确的了，
  
并被越来越多的魔友（有识之士）所理解和接受，并应用其解决魔方的相关问题了。
  
而那位令人啼笑皆非的“专家”的片面之词，理所当然地“不攻自破”了。
  
  
    令人可喜的是 ★ 计算机最少步理论版 ★ 于 2010 年开版了，我和广大魔友的
  
很多理论及相关论述的帖子，终于有家了。 欢迎楼主有空过来 坐一坐、聊一聊。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

邱志红

以下是引用明华在2006-12-26 15:05:03的发言：

    小邱 的观点有些让人不敢恭维，比如对于 正六面体 N 阶魔方来说，最常见的“对称操作”为：
 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R' （中间层自身对应）等等等等。

    有“对称操作”，必然对应“对称图案”呀。

    对于 正六面体 N 阶魔方来说，常见的有 24 个方位，48 个“对称图案”（其组合更为复杂）。

    对于 其他 空间对称魔方 来说，有相应不同的“方位”及“对称图案”。

看来很多人对对称的理解很模糊。

从施用的对象的标准来分，可以分为：自身对称，多体对称（两体居多）。

打个比方：你的头就是对称图案，而你的左右手则是图案对称。

一个针对一体，叫做对称图案，侧重实体-图案；一个针对两体，叫做图案对称，侧重关系-对称。

对于魔方的图案及操作，也是同样的道理。

smok

今天又忍耐着将“魔方组合原理”看了一遍，我只能很遗憾地表示：

1。置换方面的描述，99%的篇幅是废话。一个三置换就足够了，且与色向无关，与块的位置无关，与块的置换顺序无关，而作者花了大量文字，定义大量术语描述位置，描述色向，置换顺序，真是匪夷所思。

2。色向方面的描述，99%的篇幅是废话。色向和为零，就一句话。而作者，将置换与色向混杂在一起，难以区分。

3。中心块变换，作者不承认中心块变换

4。组装分析（作者所谓的表示定理），完全就是手工摸索的结果，稍懂一点簇内/簇间变换常识的人，就可以轻易搞定

5。跷跷板原理，魔方组合原理的精华，其定义的语义存在无数反例。

6。组合数计算，魔方组合原理的重头戏，计算是正确的，公式推导所依据的原理却是莫名其妙，显然公式是在已知正确结果的前提下，人为拼凑出来的。

7。群论使用，完全就是将初中排列组合知识披上群论的外衣

8。魔方组合原理的致命缺陷：

对扰动关系一无所知，对色向和为零一无所知，对中心块变换一无所知，对三置换的构造性质一无所知，对置换性质与块的位置、块的色向、块的置换顺序无关一无所知，对簇概念一无所知，对组合数计算的理论原理一无所知，对群论与魔方的关系一无所知。

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如果作者对以上评论有什么不服，可以逐条讨论

[此贴子已经被作者于2006-12-27 23:38:24编辑过]

smok

哈哈哈,24个坐标,48个对称图案,此高人何不举出一个例子让大家见识见识?真是颠间得不轻,哈哈哈

邱志红

以下是引用明华在2006-12-26 15:05:03的发言：

        有“对称操作”，必然对应“对称图案”呀。

    对于 正六面体 N 阶魔方来说，常见的有 24 个方位，48 个“对称图案”（其组合更为复杂）。

    对于 其他 空间对称魔方 来说，有相应不同的“方位”及“对称图案”。

    怎能发出“魔方与对称性是无关紧要”的论调呢？  对于 正六面体 N 阶魔方来说，最远状态
与 魔方对称性 更有千丝万缕的关系。

    应该说，“对称性是魔方不可回避的问题”，研究 空间对称魔方 的对称性，有利于更好地研究      
魔方状态。

难道少了对称性，魔方就不能研究了？

我的色向定理只字不提对称性，排列的纪录及运算全是顺时针的，照样解决问题了，而且极具一般性。

魔方的对称性就和研究空间几何是用左手坐标还是右手坐标一样，无关紧要，那个都行。

对于玩速度的人来说这个问题就像魔方从那个面开始复一样，看个人爱好了

[此贴子已经被作者于2006-12-26 17:39:53编辑过]

smok

有些人搞了N久循环,可是最后就连公式循环周期都算不出来,有些人搞最小步,搞来搞去,只搞出一个单色子魔方的最小步,真是非常有趣哦.说到对称,弄不明白到底是在说状态对称还是公式对称,学文学的人可能大多无法把握概念,经常弄出一些人即是猿,猿即是人的概念.

明华

QUOTE:

以下是引用邱志红在2006-12-26 10:11:36的发言：

魔方实体的对称并不能代表魔方的转动及转动后的状态也对称。

一转后的状态怎么看都不对称耶！另外在奇数次表层转动下是得不到对称图案的。一半是对称图案，一半是非对称图案，魔方与对称是什么关系呢？

我的新帖子出炉了，我认为魔方与对称性是无关紧要的，守恒性才是魔方的精髓。

   

    小邱 的观点有些让人不敢恭维，比如对于 正六面体 N 阶魔方来说，最常见的“对称操作”为：
 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R' （中间层自身对应）等等等等。

    有“对称操作”，必然对应“对称图案”呀。

    对于 正六面体 N 阶魔方来说，常见的有 24 个方位，48 个“对称图案”（其组合更为复杂）。

    对于 其他 空间对称魔方 来说，有相应不同的“方位”及“对称图案”。

    怎能发出“魔方与对称性是无关紧要”的论调呢？  对于 正六面体 N 阶魔方来说，最远状态
与 魔方对称性 更有千丝万缕的关系。

    应该说，“对称性是魔方不可回避的问题”，研究 空间对称魔方 的对称性，有利于更好地研究      
魔方状态。

smok

几何对称不等于变换对称，很少玩魔方的人或根本就是只看魔方表面的人常常以为变换是一个很简单的问题，以为套几个对称和循环就解决问题，想当然地搞出一些自相矛盾，似是而非的概念，正如跷跷原理，还有以前某个万能的循环变换自定义的语义，可以找出无数反证。当然我理解不了文学风格的隐喻/暗示/夸张，只知道从字面上扣死概念，这也是真正的数学风格，而跷跷板原理就连状态与变换都分不清，在大量反证面前又拉出变换来诡辩，可见其作者是一种典型的混饨阶段的思考呈现，很难东拼西凑自园其说，一句话，跷跷板原理自定义本身也定义了自身的破产，心尤不甘，又去拉靠时间简史，李世春教授，说不定哪天还要让霍金屈尊介入，语文老师的思维怎了得。认错，这一切就不存在了，可惜面子比真理大，死撑着吧，谁也爱莫能助。看清楚魔方表面发生的事情吧，闭门造车，一阵瞎转帮助不了什么。

[此贴子已经被作者于2006-12-26 11:44:57编辑过]

邱志红

魔方实体的对称并不能代表魔方的转动及转动后的状态也对称。

一转后的状态怎么看都不对称耶！另外在奇数次表层转动下是得不到对称图案的。一半是对称图案，一半是非对称图案，魔方与对称是什么关系呢？

我的新帖子出炉了，我认为魔方与对称性是无关紧要的，守恒性才是魔方的精髓。

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardid=15&ID=3196&replyID=37483&skin=1

[此贴子已经被作者于2006-12-26 10:19:25编辑过]