无意间找到的题目(新增)

咖啡味的茶

1.在三角形AOP中，OA=2，OP=a，角AOP=90°。设B是OA中点。求角APB的最大值。(要用确定的数字表达，不能用反三角函数）
2.七个人ABDEFGH，按顺序坐在七张长凳上。每个人都尽可能不坐在其他人旁边。（指可以选择的话，不坐在别人旁边）问有多少种坐满位置的次序？
3在n*n的方格中每个格中填入一个确定的整数。已知任意的2*2方格中所有数何是偶数，同时任意3*3方格中所有数的和也是偶数。求出所有格子内数的和也为偶数，所有满足的n
4.(重量级)在一个连通图中，至少有一个奇数点。现在要求你证明，存在这样的染色法，把每条连接线都染上红色或者蓝色，使得每个点沿出的红色线与蓝色线差绝对值不大于1.(只需要n满足就行了，不管n-1。问题意思是任意2*2和任意3*3的方格都有数字和为偶，那么可以推出在n个方格中，所有数字和是偶数。求这个数目n)
题目不难，主要我想看看大家思考方式和切入点。

[ 本帖最后由 咖啡味的茶 于 2009-7-8 08:01 编辑 ]

lulijie

下面我详细的用一笔画思路来证明第四题：
1.任何连通图，奇数点的个数必定是偶数个。
2.两个奇数点的连通图，必定能一笔画完成，且必须从一个奇数点开始，最后终结于另一个奇数点。
3.我们从连通图的一个奇数点开始，沿着未染色的连通线前进，边前进边染色，只要还有未染色的连通线存在，就任意选择一条连通线前进。直到无路可走为止。那么，终止点必定是奇数点。我们把从一个奇数点开始，边前进边染色，到最后无路可走，终止为止，叫做一次“一笔画”过程。在一次“一笔画”过程中，染色的颜色是一红一蓝，交替进行。那么在一次一笔画完成后，奇数点所画的红蓝线数相差1，偶数点红蓝线数相等。
4.对于2n个奇数点的连通图，我们可以把它分成n个部分连通图的相叠加，每个部分连通图都是两个奇数点的连通图，且它们之间没有重复的连通线。这样每个部分连通图都可以完成一笔画。对于原始连通图的偶数点，可以出现在一个或若干个部分连通图中，但它在每个部分连通图中都是偶数点。对于原始连通图的奇数点，可以出现在一个或若干个部分连通图中，但其中有且只有一个是奇数点。这样，对于原始连通图的偶数点的红蓝线数相差等于0+0+...，永远等于0，奇数点的红蓝线数相差等于1+0+0......=1。
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下面来证明    2n个奇数点的连通图，一定可以把它分成满足条件的n个部分连通图的相叠加。
我们先从任意一个奇数点开始，沿着连通线往前走，一红一蓝，一红一蓝的染色，最后终结于另一奇数点。这样最后一个奇数点的连通线已全部染色完毕，可以清除，而出发时的奇数点，要么连通线也全部染色完毕，要么剩下偶数个连通线未染色，成了“偶数点”。这样完成一次一笔画后，由剩余的未染色的连通线构成的连通图，它的奇数点减少为2n-2。
这样，不断进行一笔画过程，每次完成后，奇数点个数减2，经过上述共n次一笔画过程，奇数点个数将减到0。每个被染色过的连通线，都不出现在后面的连通图中，所以不会出现重复计算。
若经过上述n次一笔画过程，所有的连通线都被染色过，那么我们就把原始连通图分成了n个部分连通图（每个都可以一笔画，具备2个奇数点）的相叠加。
若经过上述n次一笔画过程，还剩下没有染色的连通线，那么，它们所有的点都是偶数点。它们可以全部连通在一起，也可以分割成彼此不相通的几部分。其中的每一个部分必定与我们前面的某一次一笔画有共同的顶点，这样我们把这部分与原先的这一笔画部分连通图叠加在一起，仍然是具备2个奇数点的连通图，肯定可以一笔画完成。这样我们把所有的剩余部分都并在前面的某个一笔画连通图中，这样形成的n个部分连通图，满足上面第四点的所有条件，所以证明完毕。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-8 19:53 编辑 ]

noski

第一题我也是求导算的，arcsin(1/3) ，用Windows计算器算了一下约为19.471°
第二题拓展一下，如果改成ABCDEFG依次去坐在凳子上，每个人都尽可能的不挨着前一个人（如果可以选择的话，就不挨着前一个人），那这种次序有多少呢？
比如：
A坐在2号，B就可以坐在4、5、6、7号；
A坐在2号，B坐在4号，C就可以坐在1、6、7号；
……
没的选择的时候才可以挨着。。

小半仙

没听懂十楼的话，还是觉得题很模糊

咖啡味的茶

原帖由 Osullivan 于 2009-7-6 14:42 发表
3在n*n的方格中每个格中填入一个确定的整数。已知任意的2*2方格中所有数何是偶数，同时任意3*3方格中所有数的和也是偶数。任意的n也使得此方格表中所有数之和偶数。求所有满足条件的n。
LZ的表述确实不大清楚 ...

只需要n满足就行了，不管n-1。问题意思是任意2*2和任意3*3的方格都有数字和为偶，那么可以推出在n个方格中，所有数字和是偶数。求这个数目n

咖啡味的茶

思路不错，但是没有考虑是否会走重复的路。

lulijie

现在讨论任意数目个奇数点：
我们还是采取原来的方法，从一个奇数点开始，沿着连通线往前走，一红一蓝，一红一蓝的染色，最后终结于另一奇数点。这样这两个奇数点已经无路可走，即没有没染色的连通线，所以它们的红线蓝线差为1。其他偶数点，包括其他奇数点它们已染色的连通线红蓝相差为0。
现在我们从第三个奇数点，按照相同的方法前进，边走边染色，最后也是终结于第4个奇数点。所以这两个奇数点，红蓝差也是1。中间经过的偶数点，一进必有一出，所以它们的红蓝差，必定是0。
若还有其他奇数点，再重复上述步骤，直到所有的奇数点都染色完毕。
这样，所有的奇数点，红蓝线差为1，所有的偶数点红蓝线差为0。
染色完毕。

lulijie

第四题我的思路是这样的：
奇数点必定是偶数个。
先讨论2个奇数点的情况。
我们从一个奇数点开始，沿着连通线往前走，走遍所有的连通线，最后必定终结于另一个奇数点。（一笔画完成的条件就是最多两个奇数点）。这样，我们走的第一条连通线画红线，第二条画蓝线，第三条画红线....,依次类推.。
每一个偶数点，一进必有一出，所以她们的红蓝线一样多，相差为0。而两个奇数点，除了开始出发的和最后终结的，其他也是一进必有一出，所以它们的红蓝线相差1。

lulijie

具体计算：前三个位置选择，必定都不相邻。
分两种情况
1.  第四个人可选择不相邻：只有一种情况
        前4个号码是 1357 的一个排列，一共4! 种，后三人随便选择，有3! 种
       总共  4！*3！=144种。
2.  第四个人不能选择不相邻：有以下六种情况
136     
146
147
246
247
257
前三个人号码可以交换，后4个人号码可以交换
总共  6*3！* 4! = 864 种
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所以一共有144+864=1008种。

咖啡味的茶

是的。答案确实是1008