老鼠钻魔方奶酪（更新）

Osullivan

1 现有一个3阶魔方（3x3x3的立方体）奶酪，一共由27块1x1x1的小立方体奶酪组成。一只老鼠从任意的一块1x1x1的小奶酪出发，只能沿着与当前小奶酪有相
同面的小奶酪块行进。
问该老鼠可以在吃了所有的奶酪后能够位于3x3x3大立方体的中心吗？
能与不能有给出完整的证明。


2 话说这只老鼠吃玩这个魔方奶酪后，又叫来了26只老鼠来吃魔方奶酪。于是27只老鼠一人吃了一块奶酪。突然奇怪的事发生了，有6只老鼠变成了红色，有10只变成了蓝色，11只变成了白色。原来这魔方奶酪有神奇的力量，老鼠们成了变色老鼠。不好，房间门被主人关了。于是，老鼠们发现同伴都发生了变化，且房门被关，不能逃出，于是乎在房间里乱窜。当红蓝两只老鼠碰到一起时，他们都变成了白色，当红白碰到一起时，他们又变成了蓝色，当白蓝老鼠碰到一起时，他们又变成了红色（相同颜色碰到不变色）。问，是否可能房间里出现只有一种颜色老鼠的情况？


PS：这道以魔方为背景的数学题，放在魔方吧数学板块真绝，大家顶起哦~~~~~
        本人纯属娱乐~~~~~~~~~

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-8 21:58 编辑 ]

Cielo

第二题
红=1，蓝=2，白=0，变色过程保持模3不变：
1+2=2x0(mod3)，1+0=2x2(mod3)，0+2=2x1(mod3)，
初始时6x1+10x2+11x0=2(mod3)，
最后肯定是=0(mod3)，
所以不可能。

lulijie

因为一共27个块，若能完成楼主的要求：
     那么块按连接的先后顺序排列， 坐标的和的奇偶性，就是
奇、偶、奇、偶、奇、偶、......奇、偶、奇（1，1，1）         参照14#的说明。


那么奇数的个数是14个，偶数的个数是13个。
而实际上，奇数的个数等于棱块的12个，加上内心块的1个，总共是13个，
     偶数的个数等于角块的8个，加上中心块的6个，总共是14个。
相矛盾，所以是不可能的。

lulijie

看了一下神龙摆尾的解法，都是从角块到角块的，没有从棱块到内心块的。
不能把它当做第一题的一个肯定例子。

lulijie

楼主的第二题，房间里不可能出现只有一种颜色老鼠的情况。
初始条件：6 红，10蓝，11白
       初始：   蓝-红=4，    白-蓝=1 ，    白-红=5
假设第一次碰撞，  
      红和蓝：   那么红减1，蓝减1，所以蓝-红的值保持不变，还是=4
      红和白：  那么红减1，蓝加2，所以蓝-红的值加3，=7
      蓝和白：  那么红加2，蓝减1，所以蓝-红的值减3，=1
不管是哪种碰撞情况，蓝红的差值都是增加3的倍数（0、1、-1倍)，也就是说蓝-红的值除以3的余数永远等于1。
同理    白-蓝的值除以3的余数永远等于1， 白-红的值除以3的余数永远等于2.
也就是说：若最后出现只有一种颜色的老鼠，那么另两种颜色老鼠数目的差值就等于0，根据以上的论断，这是不可能出现的。

joey0513

3楼不对吧，这个不要求走遍所有连接，只要走遍所有点就好了

lulijie

从角块或中心块开始，也被证明是不可能完成楼主的任务。
从棱块开始，若能举出一个例子可行，那么本题目就有结果了。
神龙摆尾，不知是什么东西，从网上看它的形状，好像是一个1*27的长条形的东西，经过揉搓，最后好像成了3*3的魔方。若是这样的东西，就证明了从棱块开始可行。

Osullivan

原帖由 lulijie 于 2009-7-8 22:04 发表
我换另一种思路：
将每个块都标上坐标(0,0,0),(0,0,1),(0,0,2),(0,1,0),......(2,2,2)
一共有27个块，坐标都是(x,y,z)的形式，x、y、z可取0、1、2三种值。
楼主的题目就是将上述27个块排成一个序列，使得每个相邻 ...

如果把六面展开到一平面内，是否容易些哦？~~~~~~~~~~

lulijie

我换另一种思路：
将每个块都标上坐标(0,0,0),(0,0,1),(0,0,2),(0,1,0),......(2,2,2)
一共有27个块，坐标都是(x,y,z)的形式，x、y、z可取0、1、2三种值。
楼主的题目就是将上述27个块排成一个序列，使得每个相邻位置的块的坐标x、y、z，只有一个值不同，且它们相差1，且最后一个块的坐标必须是(1,1,1)。
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假设我们已经将27个块排成了一个序列。
从上面可以看出，每个块的三个坐标的和的奇偶性必定与相邻块的奇偶性相反（因为2个坐标值相同，一个相差1）。
我们逆着顺序，从最后的块(1,1,1)开始往前数，先是奇数，前面的必是偶数。
奇、偶、奇、偶、......
一共27个块，所以第一个块（初始的块)坐标和必是奇数 。
所以若从角块、或中心块开始（它们的3个坐标和是偶数），是不肯完成任务的。
那么从棱块开始呢？

zeoly

神龙摆尾那个不就证明可行吗？