抛硬币的概率问题

Osullivan

考虑一个事件，它有两种概率均等的结果。比如掷硬币，出现正面和反面的机会是相等的。现在我们希望知道，如果我不断抛掷硬币，需要多长时间才能得到一个特定的序列。

序列一：反面、正面、反面
序列二：反面、正面、正面

     首先，我反复抛掷硬币，直到最近的三次抛掷结果形成序列一，然后我记下这次我抛掷了多少次才得到了我要的序列。重复执行这个过程，我可以算出得到序列一平 均的抛掷需要次数。同样地，反复抛掷硬币直到序列二产生，它所需要的次数也有一个平均值。你认为这两个平均值哪一个大哪一个小？换句话说，出现序列一平均 所需的抛掷次数少还是出现序列二平均需要的次数少？亦或它们两种情况相等？


PS：也是与硬币有关的一个非常简单有趣的题目：
在一个漆黑房间里，有100个硬币，其中有10个正面朝上，90个反面朝上。要求把硬币分为两堆（两堆数目可以不等），你允许任意翻动硬币，使得每堆的正面朝上的硬币个数相等。（不要把此句理解错了），请问怎么操作~~~~~~~

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-9 21:59 编辑 ]

Zeon.C

1要高一点八。。。
后面的。。。直接打乱一分2？

lulijie

解得 A(n)的通项公式=0.177008822674709 * 1.75487766624669 ^ n + 0.822991177325291 * 0.754877666246692 ^ n * Cos(1.40771544260295 * n) - 0.552445577291555 * 0.754877666246692 ^ n * Sin(1.40771544260295 * n)

序列一 的平均步数=∑  [  n*(0.177008822674709 * 0.877438833123345 ^ n + 0.822991177325291 * 0.377438833123346 ^ n * Cos(1.40771544260295 * n) - 0.552445577291555 * 0.377438833123346 ^ n * Sin(1.40771544260295 * n))   ]

计算它的极限值=10。  
同23#的计算结果。

superacid

经计算，S(1)=10

lulijie

将B(n)数列每项都加1，就得到了斐波那挈数列。  记 a=根号5
所以B(n)的通项就是 ( ( (1+a )/2)^n-( (1-a) /2 )^n) / a -1  
所以序列2的平均步数=  ∑ [   n* ( ( (1+a )/4)^n-( (1-a) /4)^n) / a -n*0.5^n ]
计算它的极限 =8

357433865

我的第一感觉就是不一样。但是我不会证明！

lulijie

具体结果
                    A(n)          B(n)
n=3：            1                1
n=4：            2                2
n=5：            3                4
n=6：            5                7
n=7：            9              12
n=8：          16              20
n=9：          28              33
n=10：        49              54
n=11：        86              88
n=12：      151            143
n=13：      265            232
n=14：      465            376
n=15：      816            609
n=16：    1432            986
n=17：    2513          1596
n=18：    4410          2583
n=19：    7739          4180
n=20： 13581          6764
n=21： 23833        10945
n=22： 41824        17710
n=23： 73396        28656
n=24：128801        46367
n=27：696081      196417
n=28  1221537      317810
n=29  2143648      514228
n=30  3761840      832039

lulijie

所以平均步数
   序列一    S(1)= ∑  n* A(n)/2^n

   序列二    S(2)= ∑  n* B(n)/2^n

计算到n=30时，S(1)=9.37，S(2)=7.94
     结果与电脑模拟基本相符。

lulijie

序列一： 第n步完成任务的概率 记作 A(n)/2^n
         那么有以下递推公式：
                      A(2)=0，A(3)=1，A(4)=2，A(5)=3
                      A(n+4)=A(n+3)+A(n+2)+A(n)
序列二： 第n步完成任务的概率 记作 B(n)/2^n
         那么有以下递推公式：
                      B(2)=0，B(3)=1
                      B(n+2)=B(n+1)+B(n)+1

shadowyang

原帖由 小波 于 2009-7-9 22:00 发表
PS那个题是不是这样的，操作方法和如果条件是1个正面朝上，99个反面朝上是类似的。

PS：在漆黑的房间里反硬币……怕怕~~

是类似的，只要分成90和10个两堆，让后吧10个的那堆全都翻过来就行了。