一个小游戏，甲获胜的概率是？

小蓝灵

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行。裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、····、2006，然后随意擦去一个数。接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。 按照这种游戏规则，求甲获胜的概率。（用具体的数字做答）

lulijie

2-2006之间的整数：分为
第一类：质数                                                                                          一共有304个
第二类：两个质数的乘积。如6、10、15等                                               一共有564个
第三类：只含有1种质因数。如4、8、9、27等                                         一共有  30个
第四类：除了第二类以外的只含有2种质因数的数。如4*3，4*9等。         一共有395个
                                     其中含2因子不含3、5因子的有264个       4a类数
                                     其中含3因子不含2、5因子的有90个         4b类数
                                     其中含5因子不含2、3因子的有29个        4c类数
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第一类数，乙一定要首先清除。
第二类数，乙也要清除，
    因为若剩下都是第二类数，那么在剩下5个数时，甲有必胜招。
第三类数，乙也要清类除，否则，甲保证两组第三类数平衡，最后剩下4个数时，如剩2，4，3，9。乙就陷入绝境。
在乙清除完前三类数，已清除了898个数。
那么甲也清除了898个数，最后剩下204个数，可以使得
              剩下4a类数88个， 4b类数87个， 4c类数29个，
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以后甲要保证至少两种四类数的存在，不能被乙清除掉两种四类数，只剩一种四类数，这是可以做到的。
最后剩4个数时，刚好4a类数两个，4b类数两个。（或其他两种四类数各两个）。如以下形式：
    2^m1*a^n1，2^m2*b^n2 ， 3^p1*c^q1，3^p2*d^q2
只要甲做到使得质因子a与b不同，c和d不同，那么就稳操胜券。（1）
若做不到，那么只要做到a、b与c、d不同也可以。                     （2）
（1）和（2），肯定能做到一点，所以甲必胜。

lulijie

裁判随意擦去1个数
   擦去奇数（概率1002/2005），那么剩下的偶数比奇数多2个，那么乙每次都去掉奇数，那么最后剩下的两个数必是偶数，所以乙必胜。
  擦去偶数（概率1003/2005），那么剩下的偶数同奇数一样多。应该是甲必胜。
所以甲胜利的概率=1003/2005
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      下面分析剩下的偶数同奇数一样多时，是否甲必胜。
            若乙全部去掉奇数，那么甲全部去掉偶数（2，4，8，16，32等仅含2的因子的数尽量剩下）。到最后剩4个数时，剩下2，4和两个奇数，乙先选，那么乙必败。
           若乙中间有选偶数，那么甲在乙选偶数的时候选奇数（尽量留下质数和含不同因子个数少的数如9、81、25等，尽量选择含不同因子个数多的数。）
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   2006以内                   例如： 8、9因为仅含因子2、或3，所以属于  含有不同因子个数 =1的类
含有不同因子个数             总数
        1：                             334
        2：                             959
        3：                             630
        4：                             82

lulijie

甲获胜的概率是0.
乙的策略：先去掉1和所有的质数，再去掉不含2和3因子的数，最后剩下的就是2的倍数或3的倍数。
接着：保持含2因子的数和含3因子的数（含3因子的数若也是含2因子的数，那就算作含2因子的数）都至少有两个。
     若甲使得含2因子的数等于1个，那么就消灭含2因子的数。最后只剩3的倍数，必胜。
     若甲使得含3因子的数等于1个，那么就消灭含3因子的数。最后只剩2的倍数，必胜。
所以最后就剩含2因子的数2个，含3因子的数2个。而轮到甲先选，所以甲必败。

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看错了，原数中无1。
剩4个数时，是轮到乙先，要重新考虑了。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-13 15:53 编辑 ]

MickeyLeo

没错，分两种情况，但是因为一共2006个数，所以乙有必胜策略，而甲没有。如果二人都是随意擦去，那么甲获胜的概率太难算了吧？

龙魔

好像挺难的。

小学生才研究这种题目。

上大学后，很少接触“互质”这个词。

lamianbu

好像挺难的。

小学生才研究这种题目。

上大学后，很少接触“互质”这个词。

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楼上两位说的不对吧，


裁判，是“随意”擦掉一个数。两个学生是“非常聪明”的。
这样一个随机条件，结果，可能是甲有必胜策略，也可能乙有必胜策略。
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有研究这种题目的精力，哥德巴赫猜想，都能搞出来。

[ 本帖最后由 lamianbu 于 2009-7-13 12:53 编辑 ]

nileibin

这种题目通常是有必胜策略的吧.

superacid

前面题目看错了
如果擦去一个奇数，甲必输，乙必胜。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-13 13:47 编辑 ]