两个土豆的难题

yang_bigarm

任意拿两个土豆，证明：在这两个土豆上一定可以画出两条完全相同的光滑闭合曲线。

注意：任意两个土豆的形状，大小，凹凸性可能完全不同。
这两条曲线有可能是在3维空间中的。

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-8-7 17:54 编辑 ]

lulijie

空间中两个不相交的光滑闭曲面，让它们随便交一下，交出的必然是光滑的闭合曲线，好像不用证明。
大家能否举出1个例子，随便交一下，交不出光滑的闭合曲线。

yang_bigarm

换成数学的语言：

空间中两个不想交的光滑闭曲面，可以在上面分别画出两条完全相同的光滑闭曲线。

例如两个球面或者两个椭球面上都可以找到这样的完全相同的光滑闭曲线。

yang_bigarm

我们所说的光滑 应该是指曲面的任意点都存在切平面。

确实是应该这样理解的，一开始没有叙述清楚，不好意思。

superacid

原帖由 noski 于 2009-8-7 18:24 发表
那么思考一下，构造一个这样的立体：
一个圆柱体，把它的上下两个平面都削成圆柱面，这样它的3个面都是圆柱面了。
这时再拿一个很小的立方体去和它相交，不知它们有没有可能交出一个光滑封闭的曲线？

这是个问题...

lulijie

楼主提到的    任意两个土豆的形状，大小，凹凸性可能完全不同。  容易引起歧义。
我觉得土豆表面虽然凹凸不平，但表面都是光滑的。  我们所说的光滑 应该是指曲面的任意点都存在切平面。
楼主的意思换成数学语言是不是这样：  
      空间任意两个闭合的光滑曲面，必存在一个相交曲线，它是闭合的光滑曲线。
还是
      空间任意两个闭合的连续曲面（不一定光滑），必存在一个相交曲线，它是闭合的光滑曲线。
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我觉得  空间任意两个闭合的光滑曲面相交形成的曲线必然是闭合的光滑曲线。好像不用证明。

noski

那么思考一下，构造一个这样的立体：
一个圆柱体，把它的上下两个平面都削成圆柱面，这样它的3个面都是圆柱面了。
这时再拿一个很小的立方体去和它相交，不知它们有没有可能交出一个光滑封闭的曲线？

yang_bigarm

不好意思，修改一下题目，如果曲线不要求光滑，那么下面这个说法就是正确答案了。
但该题目实际解答应该没有那么简单。

原帖由 noski 于 2009-8-7 17:48 发表
回楼主，这两个土豆就是两个封闭曲面，把这两个曲面随便一相交，其交线就满足题意。

如来佛猪

这两条曲线有可能是在3维空间中的。
就凭这句话
我断定应该 在3维空间中

noski

回楼主，这两个土豆就是两个封闭曲面，把这两个曲面随便一相交，其交线就满足题意。