[讨论]小议“循环”

邱志红

所谓循环通常的意思就是周而复始的变化或者运动。而论坛中循环的意思太多太杂，有时候讨论起来就像鸡同鸭讲，“循环”一词的语义并没有统一。

所以讨论的时候还是要事先讲明“循环”是那一种意思，在那一段或者那几段里是该种意思，在那一段或者那几段是另外一种意思。否则讨论起来又乱套了。

下面直到该贴结尾我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢

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循环：指魔方状态经过一系列转动周而复始，是魔方状态的循环，不改变魔方状态，初末状态相同（不一定是复原态）。

循环公式：能使魔方状态循环的转动公式。

简单循环公式：一个转动再加一个与之相逆的转动两转构成的转动公式。如R  R^- 等。

初等循环公式：由简单循环相连接或者整体嵌套构成的循环公式，如R  R^-  U  U^-， U  R  R^-  U^-等。

简单循环公式与初等循环公式都很好理解，一正接一逆或者一正接一逆嵌套在一正接一逆中，还可以再搞复杂一些，但很容易一眼通过合并正逆等就看出不会改变魔方的初始状态。

但还有一些循环公式很奇怪：

比如最简单的：R  L  R^-   L^-

既不是简单循环公式，也不是初等循环公式。因为R 与 R^-在公式里并不相邻，不能合并。即使变化为：

L  R^-   L^-  R  ， R^-   L^-  R   L  ， L^-  R   L  R^-  等，R 与 R^-在公式里还是不相邻，不能合并。

但，这个简单的四步却使魔方状态循环了。

这个可能大家具体操作一下就能明白，熟练的可能在脑子里转几下就明白了。

但 B U B^- R^- U R^- F R F^- U^- R U^- 这个就不是能很容易就看出是使魔方循环变化的公式。它也没有形同R  R^- 这样的项可以合并。形象地说就是不能化简。

这样的式子很多，它们对解决最少步骤是又一定的作用的。

比如就拿这个来说：B U B^- R^- U R^- F R F^- U^- R U^-

把复原的魔方经过B^- R^- U R^- F R F^- U^- R U^-的转动，表面看需要执行它的逆步骤(B^- R^- U R^- F R F^- U^- R U^-)^- 。这样就需要10步来复原，但事实只需要2步 B U 就可以了，这是很难想像的。

暂且就这么多了，希望大家积极讨论，就事论事，不要带情绪。

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再申明一次：

上面我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢

ggglgq

 

    顺便在这里谈谈“循环变换”：“循环变换”是兼顾上面 三个方面 的“浓缩”的、
“高效”的 “循环”，“循环变换理论”正是利用这种“浓缩”的、“高效”的“循环”
来研究各类魔方的最少步还原问题。

    比如：

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2006-2-13 12:20:19的发言：

  
    为了使大家更好地理解 魔方的最远状态（或 任意状态） 与 循环变换 的 关系，
我在这里用 二阶平面魔方的最远状态（二阶平面魔方 只有一个最远状态） 做说明：

    注：因为 二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家好理解，其它魔方同理。

  
    1.找到一个 循环变换（很难找的，对于 二阶平面魔方 当然容易了）；
  
  
  

      比如 二阶平面魔方 的一个 最长的 循环变换（由两个 最长变换 构成 ）：

          L R U D R L D U

    2.由于 一个 循环变换 的 “逆变换”也是 循环变换，故 得到 L R U D R L D U
“逆变换”
          U D L R D U R L
也是一个 循环变换。

   （请大家注意，对于其他魔方来说 L R U D R L D U “逆”为  -U -D -L -R -D -U -R -L ，
对于 二阶平面魔方 才有 -U -D -L -R -D -U -R -L = U D L R D U R L ，因为它
有长度为 2 的循环变换：比如 U U 。  这一点对其他魔方 不适用的）

    3.由 循环变换 L R U D R L D U 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：
                                    
                  L R U D                    
                    R U D R                    
                      U D R L                    
                        D R L D                    
                          R L D U                  
                            L D U L                  
                              D U L R                  
                                U L R U                  
                                    
    4.由 循环变换 U D L R D U R L 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：                                  
                                    
                  U D L R    
                    D L R D    
                      L R D U    
                        R D U R    
                          D U R L    
                            U R L U  
                              R L U D  
                                L U D L    

    5.二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家可以试试。其他魔方可就复杂多了！
以上 十六 个 半子变换（全是最少步变换） 都指向 同一个 最远状态。

  
  
  

ggglgq

<DIV class=msgheader>QUOTE:</DIV>
<DIV class=msgborder><B>以下是引用<I>邱志红</I>在2007-4-19 8:29:33的发言：</B><BR>
<P>遗憾，又开始把几个循环混为一谈了。</P></DIV>
<P></P>&nbsp;
<P></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，这正是 小邱 对“<FONT color=#0000ff size=6>循环公式</FONT>”的理解<FONT color=#ff0000>不正确</FONT>引起的呀！</P>
<P>&nbsp;</P>
<P></P>
<HR>

<P></P>
<P>&nbsp;</P>
<P><BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 实际上，对于魔方的“循环”而言，主要分为三个方面：</P>
<P><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1、状态的循环：比如 小邱 上面谈到的这些“循环”， 它 不改变 魔方状态。 </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、公式的循环（操作的循环）：通常的 “<FONT color=#0000ff>循环公式</FONT>” 一般是 特指 公式的循环<BR>（操作的循环），而并非楼主的例子！&nbsp; 公式的循环 一般都会 改变魔方状态 的。 <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3、一般的“循环”是具有“<FONT color=#ff00ff>周而复始</FONT>”性的，而 <FONT color=#0000ff size=6>非</FONT><FONT color=#ff0000>“来回折腾”的“无效操作”</FONT>。<BR>比如：<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/uploadFace/93_200412289111210788.gif" border=0><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-4/20064810405367772.gif" border=0>　具有“<FONT color=#ff00ff>周而复始</FONT>”是“循环”，</P>
<P><BR>而&nbsp;<FONT color=#ff0000>R&nbsp; R-&nbsp; U&nbsp; U-<FONT color=#000000>，</FONT> U&nbsp; R&nbsp; R-&nbsp; U- 等操作 就不能叫“<FONT color=#0000ff size=5>循环</FONT>”。</FONT>相信绝大多数魔友<BR>不会这样操作 R&nbsp; R-&nbsp; U&nbsp; U-， U&nbsp; R&nbsp; R-&nbsp; U- 的（除了他不会玩魔方）。</P>
<P><BR>&nbsp;<BR>&nbsp; <BR></P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-3-13 17:52 编辑 ]

乌木

不过，有部分同态还是可以看出的。下图中编号相同的态是同态。如果此图画完整了，而且同态全合并了，有关的路线看上去就成一团乱蔴了吧？

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    乌木 先生对“循环变换球面网”的理解比我透彻呀！[em17] 佩服 乌木 先生的探索精神！[em17]

 

[此贴子已经被ggglgq于2007-4-20 14:03:03编辑过]

乌木

我的一些图倒不是用来分析上面你们的有关理论讨论的，只是由本帖话题引出的一些想法，也许与邱兄所说的循环无关。那么，各位看过算数，别受干扰才好。

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比较下图中红环和蓝环可以知道红线不是半途搭上蓝线、而是最后两步（蓝色*号处）搭上蓝线（逆行）回到初态的。红线的另一画法见再下一图。

下图中，从初态沿红线到该循环式的最远态a（即b）再按绿线（逆蓝线）回到初态，更直观地成一个环了，它全同于整条红线所代表的循环式。

蓝线是红线的逆步骤，也通到复初态，但不是此处讨论的12个依次循环式，画出来仅供绿线逆行用。绿线段就是“逆逆下半段红线”，即下半段红线。

12个循环线路分别改画为类似这半段红半段绿的环线的话，大概蛮“壮观”的。但是比起10的19次方个总态数及它们之间的复杂关系来，只是汪洋之一滴！

上面把a态当作该环的“最远”点，是没多大道理的，仅是因为有了“初态”在，a就取中点而已。既然是环，无头无尾，a点下来一态，b点就上去一态。最后两步并入原有的两步（上图的蓝*处）是为了合并同态。图的中腹部分是否有同态需合并，这样的不完整的图中看不出。

[此贴子已经被作者于2007-4-19 20:26:51编辑过]

pengw

邱志红：

循环公式：能使魔方状态循环的转动公式。

简单循环公式：一个转动再加一个与之相逆的转动两转构成的转动公式。如R  R^- 等。

初等循环公式：由简单循环相连接或者整体嵌套构成的循环公式，如R  R^-  U  U^-， U  R  R^-  U^-等。

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pengw:

对第一种循环：所有公式都满足

对第二种循环：显然是使用一次而始末同态的公式

对第三种循环：跟第二种等价

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本质上，状态循环对公式而言，只是使用公式一次或几次的问题。小邱能不能举一个不基于这种定义的公式循环例子？尚没有看到有说服力的例外。

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如果：

1。f是循环周期为3的公式，f+f+f是循环周期为1的公式，有意义否？

2。f1,f2,f3，。。fn都是循环周期相同的公式，任意组合这几个公式有什么意义？

3。f1,f2,f3，。。fn都是循环周期互不相同的公式，任意组合这几个公式是什么结果？

3。F是循环周期为t的公式,有任意公式f及其逆f',相似变换预言：f'+F+f的循环周期是t,意味着什么？

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因此进行最基本的、定义明确的分析是必要的

[此贴子已经被作者于2007-4-19 9:49:09编辑过]

邱志红

遗憾，又开始把几个循环混为一谈了。

pengw

只要F始末同态，任意截F为二段f1和f2，F=f1+f2,F'=f2+f1,前面证明可知，F'与F恒为等价操作，这是公式形式无关的通用结论，无须画图分析

[此贴子已经被作者于2007-4-19 1:18:18编辑过]

乌木

无题：

 

接近复初时有“同态”现象，中腹部分是否有“同态”现象，怕迷路，暂时不敢去探。

pengw

乌兄言之有理，简单的公式很容易非转动判断，但就一般性而言，f1+f2的始末二态需要手工验证，目前没有见到F（状态1）=状态2这样的函数。我的上例只想说明一点，循环公式本质上很简单，仅仅只是一个等长相似变换组，并不是故意想将问题说得如此简单，但事实是证明过程才二行，复杂从何而来？始末同态只是相似变换定义复盖的特例，循环公式的一切属性，都可以在相似变换的定义和推论中找到答案。

[此贴子已经被作者于2007-4-18 23:11:44编辑过]