鞋匠的刀难题

yang_bigarm

这是一个古老而经典的几何学难题，如图所示，有一个大圆A，内部有一个和它内切的圆B，在AB圆心连线的上做小圆C1同时与A、B相切。
再做C2与C1，A，B相切，做C3与C2，A，B相切。。。。。。
这个图的上半部分包括一连串相切的小圆，被称为鞋匠的刀。
证明：
1、C1，C2，C3，。。。Cn的切点都在同一个圆上（虚线部分）
2、设Cn半径为Rn，则从Cn圆心到AB圆心连线的垂直距离恰好是  2n*Rn

实在不好意思,图画得有点问题了.图中的C1应该为C0,C2应该C1为,C3,C4...以此来推.

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-8-12 11:33 编辑 ]

Cielo

老帖也被挖出来了啊~

话说当几何学助教的时候就讲过这题

我是状元

BT呀
无语了
鹅鹅鹅鹅鹅鹅鹅鹅鹅

tm__xk

我也是在反演见过的这题.

tm__xk

Pappus累圆定理.

superacid

非常支持yang_bigarm，出题很有深度。

yang_bigarm

原帖由 phileas 于 2009-8-14 11:58 发表
这个题用反演做是很简单的。

very good，一击命中要害！！！

反演更一般地称作墨比乌斯变换，跟这个帖子前后一起，我一共出了3个几何问题：
托勒密定理，鞋匠的刀，对角线垂直的四边形。还有一个斯坦纳的珍珠，图没有来
得及画，以后等我这个帖沉底了再发出来，留给没有看过的朋友。

这些问题都是我最近看《复变函数》的时候，在墨比乌斯变换这一章节中遇到的，
用这种变换，原来的竞赛题，答案都变得显而易见了。

在高等数学的观点下，很多初等数学里的难题都可以变得让常人能够理解，这
也就是高等数学存在的意义，并不是一帮人吃饱了饭没事干想出来的东西。

从另一个角度来看，竞赛所出的题目，要有高等数学的背景，通过题目去学到
新的知识，培养对数学的兴趣，这样才能称作好的问题，这也是IMO的宗旨所在；
而不是一味地追求难题，那个叫做整人。

我在mf8里所出的题目，大都都是我在各种书上看到的觉得“好”的问题，好的定义
如上所述，就是题目包含有一定的背景知识，从解题中或者看别人的解法中领悟新的东西。

lulijie

楼上的解法：就是   阿波罗尼奥斯问题的反演变换解法。

phileas

这个题用反演做是很简单的。

以圆A和圆B的切点O为中心，任取一个长度r，作反演。圆A和圆B反演成两条平行的直线，所有Ci反演成圆。
由于Ci和A，Ci和B，相邻的两个Ci都相切，那么所有Ci反演以后的圆就是夹在两条平行直线间的一列半径相同的圆。
这些圆的切点显然在一条直线上，而且和先前说的两条直线平行。那么在做反演之前，这些切点必然共圆。（结论1）

假设圆Cn反演成圆Gn。它们的圆心OCn和OGn，与O必然共线。假设该直线与Cn交于Cna和Cnb，与Gn交于Gna和Gnb。注意所有的Gn的半径都是相同的，记为rg。
根据反演的定义，OCna * OGnb = r平方 = OGna * OCnb，而OCnb = OCna + 2rn，OGnb = OGna + 2rg。
所以 (OCna + 2rn) / (OGna + 2rg) = OCna / OGna，稍微变换一下形式，得到：(OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg

从Gn圆心向AB圆心连线作垂线，根据明显的相似三角形，有Ln / (2n * rg) = (OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
所以 Ln = 2n * rn （结论2）

yang_bigarm

用解析几何的方法，当然可以算出来啦，但是楼上算了那么多，实际上还没有写完呢。
第一问所需要解的方程恐怕更家繁琐吧。
有没有巧妙的方法呢？或者说几何一点的方法。

还有就是第个一问还没有做出来呢。

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-8-13 08:32 编辑 ]