为什么圆周率 π 是无理数

yang_bigarm

似乎在很早的时候，我们就听老师说过，圆周率 π = 3.1415926... 是无理数，
可是谁能把这件事说清除呢？

请问是谁告诉你这个结论的？ 你是怎样相信这件事情的？
为什么很多人那么容易相信圆周率 π 是无理数，而无法相信0.999.... = 1呢？

咖啡味的茶

有道理耶。。无限除无限还是不能确定它是有理数还是无理数。

lulijie

我再来举个例子：
f(k)=1+1/2+1/4+......+(1/2)^k
我们将f(k)通分后，分母是2^k，当k趋向无穷时，分母趋向无穷大，按照18#的证明方法，就会得出f(k)的极限是无理数。
但实际上，极限等于2。

lulijie

我觉得18#的证明是判断一个数是有理数还是无理数，而过程中涉及到无限问题，同                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 应该算是个谬论的贴中的问题是一样的。这样证明是错误的。
Leibniz级数对于任意k都是有理数，当k趋向于无穷大时的极限是Pi/4。我们要证明它的极限是不是有理数。不能用原数列、k趋向无穷大来证明。

咖啡味的茶

抱歉，引理没错。你能举出反例？我没把过程写详细而已

superacid

引理明显是错的

咖啡味的茶

问题出在哪里？

superacid

楼上很有想法，只不过，显然是有问题的

咖啡味的茶

我这里有个简单的证明。用pi表示圆周率。
首先，假设它是一个有理数。那么它表示为a/b。那么a/4b也是有理数。跟据Leibniz级数1-1/3+1/5-1/7+……+1/(2k+1)-1/(2k+3)+……=pi/4=a/4b。把等式左边化为2*(1/1*3+1/5*7+……)
先证明一个引理：a(i)是正整数。[a(1),a(2),a(3),…,a(n)]=1，那么S=  a(i)的所有项乘积，S/a(i) (k=1,2,3,…,n)中n项最大公约数为1。
那么把原式通分后，会得到分子中不含有所有分母的因子的最简分数。那么分母数目是无限大的。那么b无限大。与题设矛盾。

Paracel_007

π 是无理数，这个要用微积分吧（我有一本书上又超越数的证明，一长段啊……）