降群法解四阶

Greenoracle

降群法解四阶

前晚上在路边买了个七级的四阶，卖魔方的说是这是七级的牌子，也看到说是裙家的。大概是指的一个吧？昨晚上把它拿出来玩了几个小时，搞定了。这之前我只听说高阶的都是降阶法，至于具体教程帖子一篇没看。玩了三阶各种解法之后就决定，再不看任何教程。所以，想自己解决魔方，不玩公式玩思维的魔友，看到这里可以打住了。

下面我就讲讲降群法，这种思路可以解决任意高阶魔方。想了解三阶降群法的朋友可以看看我发在其它速解版上的帖子：最酷的玩法：Thistlethwaite Method，附word文档 。

大纲思想是降群。降阶法即是降为三阶魔方群。还有其他的降群方法。比如降为二阶的，这是另一种降阶。或者过程中降为G= <L2,R2,U,D,F,B, M0,M1,E0,E1,S0,S1 >之类的子群。但这种降法可能会麻烦很多，待我把它们玩出来之后再写帖子介绍。这里先提供降为三阶魔方群这一熟悉子群的方法。我想大家说的降阶法可能具体步骤和我说的大至相同，因为它们在数学意义上是等价的。

四阶，我到现在只还原了三把，有些地方还待后续完善，之后我会附上完整的word文档。

先来看看四阶转动群结构和状态数。四阶转动群，G0= <L,R,U,D,F,B, M0,M1,E0,E1,S0,S1 >。我这里把中间两层靠近L面得叫做M0，靠近R面得叫做M1，M0，M1的转动方向跟三阶里的M方向一致。其他类推。它包含三阶转动群GR=< L,R,U,D,F,B >作为它的子群。

8 个角块	8!×3^7
24 个中心块	24!/(4!)^6	面的四个中心块是等同的，所以除以(4!)^6
24 楞块	24!	楞块不能翻转，所以没有2^23这个朝向因数
除数因子	24	整体没有固定朝向，用第一个角块定朝向，有24种等价情形

总的置换状态数：8!X37 X(24!)^2/[(4!)^6X24]=7.40X10^45

记GR=< L,R,U,D,F,B >
G0= <L,R,U,D,F,B, M0,M1,E0,E1,S0,S1 >
G1=GR X <M02,M12,M0M1,E0,E1,S0,S1>
G2= GR X <M02,M12,M0M1,E02,E12,E0E1,S02,S12,S0S1>
G3= GR X < M0M1, E0E1, S0S1> = GR
G4= <I>


G0 -->G1 -->G2降群的过程就是将三对对色（BG，WY，RO）的中心块分开，分别放到LR,UD，FB 面的中心。

G2 -->G3降为三阶魔方群，这个过程就是将中心块的对色再分开，分别放到相应面心上，同时，将相邻楞块正确配对。

G3 -->G4就是三阶群的还原过程。下面分步介绍每一步需要考虑的问题，和解决的关键技巧。

One：  G0 -->G1
注意观察八个角块的配色方案，它决定了中心块的摆放位置。跟三阶的一样即可，我定位为上黄下白，左蓝右绿，前红后橙。这一步做的是分离出WY色，放到UD面上。

技巧是，将WY色中心块两个两个的配对，方便再放回UD面上。比如先在U/D面上各放一对WY色块，剩余四个WY色块放到侧面配成两对，一个转动同时归位。

Two：  G1-->G2
把BG色中心块放到LR面上，RO色中心块放到FB面上。这一步完成之后相对色的中心块，就不会在相邻面上，只有这样后续步骤才能在G2群内完成。

关键技巧：利用E0，E1转动分离BG和RO色。显然的是，一次E0，E1转动对调了4个LR面上的中心块到FB面上，所以先调整FB面，使得FB面上8个中心块4个RO色，4个是BG色，其中，4个BG色两个在F面另两个在B面上。LR面上的情形跟FB面一致。调整好RO色块BG色块相对位置，一个E0或E1转动即可分离FB，LR面心。

Three：G2 -->G3
这一步把对色也分离，即做好六个面的中心。同时，将相邻楞块正确配对。配中心和配楞块理应同时实现的，但太过复杂，为了避开庞大的计算量，我分两步完成。先配中心，再配对楞块。

G3群里的（M0M1）表示M0，M1两层绑定在一起同时转动，相当于三阶里的M。因为G1，G2群都能分离相邻位置的两个楞块，而G3群保持相邻楞块始终相邻，所以，楞块配对只能在这一步里面实现。

1.配中心
技巧：比如配FB面的中心，先调整使得F面上有两个红色面，两个橙色面，同色的处于邻位而非对角位，B面中心也如此，再用M02，或M12一次转动即配好FB面的中心。

2.楞块配对
技巧：将需要配对的楞块调到M0，M1层上来，做（M0L）或（M1R）转动配对楞块，然后GR群转动把配好的对调到边层，再作前面M0，M1转动的逆，复原M0，M1层。我这里（M0L）表示把M0层和L层绑定在一起做M0方向的转动。普通情形下会遇到剩下四个楞块难以配成两对的问题。可以考虑用三轮换解决。也可以留到最后用三轮换解决。

Four:   G3 -->G4
最复杂的工作到上面已经做完，这里，只需从十几种三阶解法随便选一个复原即可。

[ 本帖最后由 Greenoracle 于 2009-9-28 23:08 编辑 ]

柯哀之恋

降群法看起来好难，也不举个例子

乌木

如果不干扰本帖主题或不会离题太远或尽量服务于本帖主题，不妨适当探讨一下。复原四阶中应该会遇到这类问题的吧。

四阶的四个心块位置四轮换时，据pengw的帖子，角块一定会伴生一个（或奇数个）偶轮换，此其一；接着把四轮换后的心块做个三轮换，当然剩下心块的一个二交换，且可以不影响角块和棱块－－即角块仍然保留着一个（或奇数个）偶轮换，此其二；问题是接下去再也不可能仅化解角块的变化而保留心块的二交换。所以，看来四阶是不可能单单心块二交换的？

Greenoracle

谢谢乌木先生指正。疏忽了。
我有考虑了一下，对换两个心块是可以的。
下面是我的推理：
三轮换没问题(234)
四轮换也没问题（1234）
它两个的乘积就是对换（14）=（1234）(234)
具体例子我找到之后在回复。

原帖由 乌木 于 2009-9-30 12:09 发表 正是。不过，好像不同的转动，心块的变化不同，如何说明这不影响结论？我是说，表层转一个90°后，心块发生一个四轮换变化；内层转过一个90°后，心块发生两个四轮换变化。两者显然大不同，如何解释四阶魔方不可 ...

乌木

正是。
不过，好像不同的转动，心块的变化不同，如何说明这不影响结论？
我是说，表层转一个90°后，心块发生一个四轮换变化；内层转过一个90°后，心块发生两个四轮换变化。两者显然大不同，如何解释四阶魔方不可能单单交换两个心块（所有别的块不变）呢？
或许此议不必在这一帖展开，或者，仅作插曲吧。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-30 12:17 编辑 ]

Greenoracle

单单交换两个心块是不可以的，这是个奇置换。所有转动操作都是心块的偶置换。这是它的数学原因。当然，三轮换是可以的，但只是看起来像两个心块交换。

原帖由 乌木 于 2009-9-30 11:19 发表 噢。这问题和本帖主题关系不太大（？），我是顺便问一下的。在纯色四阶魔方中，往往这样：看上去是两个心块交换了，实质是三个心块的轮换。在全色魔方中，我不会单单交换两个心块，所以上面提出这个问题。你说可以 ...

乌木

噢。这问题和本帖主题关系不太大（？），我是顺便问一下的。在纯色四阶魔方中，往往这样：看上去是两个心块交换了，实质是三个心块的轮换。在全色魔方中，我不会单单交换两个心块，所以上面提出这个问题。
你说可以单单交换两个心块（别的所有块不变），真这样的话，您不妨另发一帖，告诉大家这事情，最好给出具体例子及其步骤，还可以用（例如）Puzzler的全色四阶魔方（每个块标有数字编号），把结果图贴上来。
这问题困扰我很久了。只是不久前pengw指点用“N阶定律”说的扰动方程看这类问题，使我更觉得四阶是不可能单单交换两个心块的，这种变化总是和角块的（例如）两角交换伴随在一起的。对吗？
所以，你真的做到了四阶单单交换两个心块的话，务必告诉大家。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-30 12:08 编辑 ]

Neo63

原帖由 乌木 于 2009-9-30 10:40 发表
四阶心块可以随意调动（不过是否允许单单交换两个心块，我还不清楚，好像是不行的）

假如我没记错的话，我是换过两个中心块的。

乌木

确实，楼主可以不去看已有的四阶复原法，或许反而有好处。我愿意说一下四阶的特点，也许楼主是知道的，就算给新手看的。
角块性质和三阶的差不多，8个角块的色向和总是为零的，即不能单单一个角块翻色的。但是四阶可以单单两个角块交换位置，这与三阶不同。
四阶没有三阶那种中心块，四阶的心块性质和三阶中心块性质区别很大。四阶心块可以随意调动（不过是否允许单单交换两个心块，我还不清楚，好像是不行的），所以，在复原时，六组心块的相对位置关系必须和8个角块所包含的魔方配色信息一致。否则，会复原不下去的。
四阶的棱块和三阶的中棱块性质也是很不同的，四阶的单个棱块没有就地的色向变化。四阶棱块允许单单两个交换位置。两个棱块对子的交换其实是：要么是不翻色的两两交换，要么是有一组翻色的四块轮换。
更高阶的魔方，奇阶的既有三阶性质又有四阶性质，偶阶的和四阶一样。高阶魔方只有量变，没有质变。

Greenoracle

论坛的解法帖子我就不看了，免得不小心学会了别人的解法。对棱对换也有，我遇到过。开始还迷惑了一下，因为这是个奇置换。考虑到相邻两个棱是等同的，对棱交换可以等同于三棱循环轮换，可以当做三轮换处理。一直混乱到最后一步还原，如我贴中所提，可以做到，我正在考虑这种降法。

原帖由 phileas 于 2009-9-30 01:08 发表 不是配对问题。配对完成以后，降成的三阶会有“对棱换”和“单棱反”两种异常情况。其原理就不多说了，坛子里帖子很多。换句话说，这样降成的不是"三阶魔方群"另外，我觉得既然用降群法解高阶，就不应该降成 ...