【悬赏】立体几何难题

superacid

已知空间内两两异面的三条直线L1,L2,L3
问所有与这三条直线都共面的直线构成怎样的空间几何图形？

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-14 11:08 编辑 ]

superacid

由于单叶双曲面标准方程是x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1
马鞍面标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=2z
所以判断究竟是单叶双曲面还是马鞍面只需看I3是否等于0
貌似计算有点痛苦

superacid

二次曲面的知识：

设二次曲线F(x,y,z)=0

可以写成

记

令

对于空间的一个旋转变换将F(x,y,z)=0变为F(x',y',z')=0，设过渡矩阵为C0，则C0为正交矩阵， 。
对于任意实数s，有

所以
也就是说

在任意旋转变换下是不变量。

我们可以据此判断一般二次曲面的类型。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-15 11:52 编辑 ]

superacid

计算得xy+yz+zx=-1是单叶双曲面

superacid

LS那个图恰恰说明的是单叶双曲面的直纹性
37楼的图...用魔方...

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-15 09:25 编辑 ]

ggglgq

　
　　
  
    结合本主题另外给大家提供一个游戏，供大家闲暇时消遣娱乐，呵呵！
　　　　
　　








　　
　　　

ggglgq

　　
　　　　
  
    轨迹问题是解析几何中常见的有趣的问题。
  
    对于同一 图形 可以有不同的轨迹描述，从而得到不同的方程，如
  
平面解析几何中用不同的轨迹（方法）描述双曲线，便得到如
  
     x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1  及  xy = k  (abk≠0)  等不同的方程形式
  
但它们经过 旋转、缩放 等变换 后，即可化为同一 图形方程（双曲线）！
  
    对于立体解析几何，甚至高维解析几何，亦如此。 因此轨迹问题对于
  
三维以上空间来说需要很好地总结归纳其内在规律。
  
  
    对于本主题，化简一般两两异面的三条直线的轨迹方程是比较麻烦的，故
  
本人只给出上面这种特殊的 xy + yz + zx = -1 双曲面方程，便于大家参考。
   
因为所有满足题目要求的轨迹都可以经过 旋转、缩放、平移 等变换 化简
  
成这个简单的 xy + yz + zx = -1 双曲面方程！
　　　
　　
　　
  
　
　　
　　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-11-15 18:28 编辑 ]

ggglgq

　　
  
    设正方体的边长为 2 （如图），两两异面的三条直线为蓝线，如图建立
  
坐标系，则所求双曲面方程为： xy + yz + zx = -1  。
  
  
　　　
　　
　　

superacid

貌似判断到底是哪一种有很大的难度

lulijie

不知道直纹面的概念，上网查一下：
直纹面：如果曲面S上有一族单参数直线(随着一个参数变化的一族直线),而S的每一点都在这族直线上,则称S为直纹面。这族直线中的每一条直线都称为直母线.
上述我说的式1、式2所确定的直线，刚好是由参数x1确定的一族直线，符合上述定义的直纹面。
正像楼上说的，只有单叶双曲面、双曲抛物面符合题意。