魔方表示定理

rongduo

约三月前，我在论坛披露有一部名为《魔方的解法与原理》的手稿，但未录入电脑。此后一直有网友催问何时能发表，有的甚至多次发短信来催促。但惭愧得很，至今我仍未完成录入任务。我只能在周末和周日来做这件事，而且录入的过程同时也是一个完善提高甚至再创作的过程，故而进展异常缓慢。但我仍然敢说，我不会使朋友们失望的。

现在已将这部书稿重命名为《魔方组合原理》，这一名称更符合书的内容——它其实主要是一本讲魔方组合而非开解的书。由于多次在论坛上看到人们讨论魔方的组合数而又不得要领（请恕冒犯），我终于决定先将书中与此有关的一点内容发表于论坛，算是向对我工作效率不满的网友告罪。

pengw

从本质上讲，魔方组装错误的后果有二种基本类型：

1。非法簇状态，即不可能出现的簇状态，如色向错误
2。簇状态组合错误，即这些簇状态正常表况下不可能组合一起，常见的有扰动错误

通谷的讲：
1。违北扰动原则
2。违背色向原则
3。前二者的组合

将以上三种情况归约为最简，即所谓的组装错误，本质上色向错误也是一种置换错误

Cielo

看着现在的 word 版《魔方组合原理》，回头看 rongduo 老师最初发表的时候，怀念魔方吧当时的氛围啊

pengw

以下是引用rongduo在2005-4-11 18:12:08的发言：

[回复第13楼］

对Pengw网友的发言，说实话，看得不太懂。现只能就自认看懂的部分谈一谈。

第一，发表于论坛的魔方表示定理，只是一本书中的一个片断，而且只是片断中的大义。待cube_master把全书挂出来后，所有存疑的问题自然会最后见分晓。

第二，目前的跷跷板原理考虑的只是最原始的鲁毕克魔方——三阶、中心块无方向。也就是说，它有自己的论域。对这一原理的评价，自应以不超出论域为好。

第三，把跷跷板原理推广到中心块的方向是可以的，对此我已有腹稿。但这算不上是具有挑战性的问题，很难激发的我的兴趣。（我现在主要在考虑制作一个开解原始鲁毕克魔方的计算机程序以自娱）。

第四， 高阶魔方我没玩过，所以没有发言权。注意到Pengw已经计算出了四阶以上的几种组合数，我比较相信这些数字是正确的；因为，仅就二阶和三阶的两个组合数来看，与我在下面计算的结果是一致的。虽然我的意见并不具有权威性，但我仍然愿意向Pengw表示祝贺！

古人云：“吾生也有涯而知也无涯，以有涯追无涯，殆矣！”魔方虽为小道，又何尝不是如此呢？愿与同好者共勉！

热切期待rongduo朋友的"魔方组合原理"早日发表,这是一件值的观注的大事,本人深刻领悟道这样一个道理,即每个理论都有其受限制的方面,只有不同的观论集合在一起,相互补充,促进,才能一道步入完美和协的景界,魔吧不仅是一个表达自已观点的地方,更是猎取新观点的好地方,期待"魔方给合原理"带给同好们新的观点,新感受,新的启示,作为理论区现任版主,预祝rongduo朋友取的完美成功，同时也对rongduo朋友的专业奉献精神表示敬意。如果rongduo朋友不介意，诚请留下直接交流的管道

[此贴子已经被作者于2005-4-12 14:54:16编辑过]

cube_master

希望能尽快用到你的魔方程序

rongduo

[回复第13楼］

对Pengw网友的发言，说实话，看得不太懂。现只能就自认看懂的部分谈一谈。

第一，发表于论坛的魔方表示定理，只是一本书中的一个片断，而且只是片断中的大义。待cube_master把全书挂出来后，所有存疑的问题自然会最后见分晓。

第二，目前的跷跷板原理考虑的只是最原始的鲁毕克魔方——三阶、中心块无方向。也就是说，它有自己的论域。对这一原理的评价，自应以不超出论域为好。

第三，把跷跷板原理推广到中心块的方向是可以的，对此我已有腹稿。但这算不上是具有挑战性的问题，很难激发的我的兴趣。（我现在主要在考虑制作一个开解原始鲁毕克魔方的计算机程序以自娱）。

第四， 高阶魔方我没玩过，所以没有发言权。注意到Pengw已经计算出了四阶以上的几种组合数，我比较相信这些数字是正确的；因为，仅就二阶和三阶的两个组合数来看，与我在下面计算的结果是一致的。虽然我的意见并不具有权威性，但我仍然愿意向Pengw表示祝贺！

古人云：“吾生也有涯而知也无涯，以有涯追无涯，殆矣！”魔方虽为小道，又何尝不是如此呢？愿与同好者共勉！

[此贴子已经被作者于2005-4-11 18:22:18编辑过]

pengw

以下是引用rongduo在2004-11-29 8:39:33的发言：

按照中学数学中的排列组合的理论与方法，易知8个角块在魔方上的全部可能的组合可以看成是8个角块的全排列，其数值为8!；同理12个边块的可能的组合数值为12!。8个角块方向的可能的组合数为3⁸，12个边块方向的可能的组合数为2¹²。这样魔方全部可能的图案组合数为：

8!×3⁸ ×12!×2¹²_­

这是所有组装正确和错误的魔方图案的总数。由表示定理知道，这样的图案可分为12族。各族的图案数都相等——这是因为，一个组装错误的魔方与组装正确的魔方有着完全相同的物理构造和转动方式。不妨想象已知的组装错误的魔方只是对一个组装正确的魔方进行重“染色”而成的，“染色”行为显然不会改变这个魔方中方块的组合数。故而，任意一个三阶魔方（无论其组装正确与错误）的图案的总数应为：

8!×3⁸ ×12!×2¹²_­/12

≈ 4.3 × 10¹⁹

rongduo 朋友是否考虑过变换不允许的组合?你的原理,是完全基于手工组装的计算,再排除错误图谱,非常简单又非常巧妙,这在低阶很容易,但在高阶可能不现实,还有一点,你没有考虑到中心块的影响.三阶有定义的很好的拆的概念,即角块不可能装到中块位等,三阶块装错方向的错误可转移给其它块,在高阶就不是这么回事了,犹其是无色向心块原地装错方向(现有结构不允许,理论上许可),那么这个心块移到任何地方都是错向的,装错的组合数可能大的惊人,其实组合数是可以通过变换规则的运用而非常简单地计算出来,以上意见仅供参考.不过我还是对你思路独到之处非常欣赏,认为是不失为验证其它计算方法的好主意.另外请注意纯色魔方问题,即花色可能不能完全反映魔方状态,计算时要区别是计算魔方状态,还是花色,如果是花色,又要区别六面单色还是其它着色方案,有些着色方案存在同构不同色的问题,对同构图,你定义为不同的图还是相同的图,这些问题的取舍会极大地影响你的计算结果.

计算原理有以下几种:

基于复原方法的计算,最简单最直观,到复原最后阶段,可选择的变换非常有限

基于组装排错的计算,这是你当前用的方法

基于变换规则的计算,N阶定律中已给出一般性各阶组合数计算公式

[此贴子已经被作者于2005-4-9 9:04:14编辑过]

cube_master

以下是引用rongduo在2005-3-9 9:42:24的发言：

很长时间没上魔方吧，今天才知道新增了一个理论区。想必您已经知道，拙作《魔方组合原理》将于近期挂于魔方吧。看了书稿后，就会知道某些分歧是本不会有的。我细读了您的P3定理，发现多有精彩的或重要的内容，但我更关心的是定理证明的思路和所须的数学工具。能说说这些吗？

魔友 rongduo 提供的《魔方组合原理》正在整理中........

rongduo

很长时间没上魔方吧，今天才知道新增了一个理论区。想必您已经知道，拙作＜魔方组合原理＞将于近期挂于魔方吧。看了书稿后，就会知道某些分歧是本不会有的。我细读了您的P3定理，发现多有精彩的或重要的内容，但我更关心的是定理证明的思路和所须的数学工具。能说说这些吗？

pengw

以下是引用rongduo在2004-11-29 8:31:19的发言：

书中有这样一个定理：

魔方表示定理：把一个正常的魔方拆散后随意组装，不管在组装过程中发生了多少组装错误，组装完成后总可以使这些错误化归为不超过三个方块的错误。

【说明】定理中所说的化归后的错误只能是如下11类错误中的一类：

当其它所有方块都正确时，

（i） 一个下角块顺时针扭转;

（ii） 一个下角块逆时针扭转；

（iii） 一个下边块翻转；

（iv） 两个下边块对换；

（v） 一个下边块翻转且它同时与另一个下边块对换；

（vi） （i）和（iii）的组合；

（vii） （ii）和（iii）的组合；

(viii) （i）和（iv）的组合;

(ix) (ii)和(iv)组合;

(x) (i)和(v)的组合;

(xi) (ii)和(v)的组合。

以上11类错误再加上正确的一类，正好对应于所谓的魔方组装的12个族。

这一定理（以下简称为“表示定理”）的证明冗长且所涉面广，但定理本身的内容却很直观——熟练的玩家很容易验证它的正确性。这里我们只打算引用它来计算魔方的组合数。

以上内容未考虑中心块问题,不全对.同时错装问题,可用已发表的P3定理轻易发现