[求助]3阶的任意互相垂直的三个"面"还原后，魔方就还原了吗？

三叶虫

3阶的任意互相垂直的三个"面"还原后，魔方就还原了吗？

是否存在状态只有三个面还原而其他三个面没有还原？

乌木

10楼说：“看得到的九个棱块没了翻色权利。”

想想不妥。确切说法应该为：

“（按照题意，）看得到两个色片的头三个棱没了翻色的权利。

只见一个色片的棱中，一、黄红、红蓝两棱交换不交换都必须高级色红色向上，故无翻色；二、绿黄、绿橙两棱交换不交换都必须低级色绿色向右，也是无翻色；三、白蓝、白橙交换后必须仍保持中级色白色向前，即交换后两个都翻色了，也必须翻色。（这里交换不交换对幕后花样总数的贡献已经计入上面的位置变化中了，不能重复计算。）

总之，这六个棱的每一个，无论在两个允许位置中的哪一处，都只有一种色向选择。所以它们（连同头三个棱共九个棱）就无法利用翻色而对幕后状态总数的增加作出贡献。”

乌木

不妨把前面零星找出的四个幕后花样和上图对照一下：

乌木

又不显示第11楼了，顶出来！

乌木

把魔方转过来看看其幕后变化。画96个态是吃力不讨好，改为这样：在正面只看到“半脸”的那六个棱现在只标以灰色，它们所形成的8种状态，读者不妨自己画画。

灰色棱中4个偶次两交换态配下图“偶”行共12个态；灰色棱中4个奇次两交换态配下图“奇”行共12个态。这样，4×12＋4×12＝96 。

同一行内三个棱的位置状态一样而三个棱的（四种）色向状态相互不同，分别表示为000～110。

[此贴子已经被作者于2007-9-27 0:22:40编辑过]

乌木

看得到的九个棱块没了翻色权利。余下的幕后三个棱块虽然每一个都有两种色向态，但在魔方规律（翻色棱的总数只能是偶数）支配下，这三个棱色向态总数并不是2×2×2＝8，而是2×2×1＝4。因为，老七总有两种色向选择权，老八也是，而轮到老九就只有一种选择了－－视老七、老八色向如何而只能取翻色或不翻色之一，不能任取了。

示意为：（1－－翻色，0－－不翻色）
七 八 九
1  1  0
1  0  1
0  1  1
0  0  0

所以，魔方幕后变化总数为 （2×2×2）×（3×1×1）×（2×2×1）＝96 。

没出错吧？

乌木

我试试计算一下魔方“幕后交易”的花样总数。

楼主的题目中，8个角块“死掉”了。红白、红绿和白绿三个棱也不许动。其余9个棱各自的“演出节目”也大大减少了。

9个棱的位置变化数：

9个棱中头6个棱：红黄、红蓝只可以不翻色地互换，没别的戏可唱；白蓝、白橙也是；绿黄、绿橙也是。－－这6个棱的位态数为2×2×2＝8。

最后三个棱（蓝橙、蓝黄和橙黄）都在幕后，连半张脸都不许露！它们只能在它们三者的位置中发生换位和翻色变化。－－位置变化数为3×1×1＝3。

因为，3个棱块排位置有6种排列法，其中0次交换的（即无交换）1种，含一次两交换的3种，含两次两交换的2种。即含偶数次两交换的3种，含奇数次两交换的3种。

又因为，三个棱块（老七、老八和老九）中老七有3个位置可任选；老八面对两个空位却只有一种选择：头6个棱两交换次数是偶数的话，老八只能处于这样的位置－－和已经占位好了的老七以及后来的老九、三者形成含偶数次两交换。头6个棱两交换次数是奇数的话，老八只能处于这样的位置－－和已经占位好了的老七以及后来的老九、三者形成含奇数次两交换。

这是魔方规律决定的，没办法的，因为我们在“转”魔方，不是在任意组装魔方！（此外，如果8个角不死成这样，则另当别论。）

好了，这样一来，头6个棱状态确定后，只要老七占好位，老八只有一种选位权了，老九更是只有一种，故得3×1×1。

示意如下：
七八九－－0次两交换（偶）
七九八－－1次两交换（奇）
九七八－－2次两交换（偶）
八七九－－1次两交换（奇）
八九七－－2次两交换（偶）
九八七－－1次两交换（奇）

所以，9个棱的位置变化数为（2×2×2）×（3×1×1）＝24。

下面还要考虑棱色方向的变化总数。头大了，休息一会。

这类问题我常常会弄错，望各位指正。

老老佳

我也被这个问题困扰着。。。。。

pengw

相关计算已经做过多次了，找一找以前的贴子，应该有。

乌木

魔方“背后”两两棱互换也不止3楼那一种，比如：

         

楼主这问题的答案究竟是多少种，还得请冬兄帮助理论计算一下的。

[此贴子已经被作者于2007-9-19 14:23:34编辑过]