一道初中关于圆的题

石崇的BOSS

如图，PA、PB是圆O的两条切线，切点为A、B，弦CD//AB，割线PCE交圆O于E，DE交AB于F，求证：FA=FB.

石崇的BOSS

网络牛人牛解：

证法二：连接AC,AD,AE,BC,BD,BE.
1) 圆O的两条弦AB、DE相交于X，有AX/BX=(AD*AE)/(BD*BE)
显然△AXE∽△DXB，于是AX/DX=AE/BD
显然△AXD∽△EXB，于是DX/BX=AD/BE
以上两式相乘即有AX/BX=(AD*AE)/(BD*BE)
2) 由CD//AB易证CDBA是等腰梯形，于是AD=BC，BD=AC，等量替换有AX/BX=(BC*AE)/(AC*BE)=(BC/BE)*(AE/AC)
3) 易证△PCB∽△PBE，于是BC/BE=PC/PB
4) 易证△PCA∽△PAE，于是AE/AC=PA/PC
5) 3)、4)两式相乘，结合PA=PB，有AX/BX=(BC/BE)*(AE/AC)=(PC/PB)*(PA/PC)=1，即AX=BX，从而DE平分AB

石崇的BOSS

网络牛人牛解：

证法一：连接OA、OP、OD和OE，假设AB与OP相交于点X，DE与OP相交于点Y
1) 易证OP垂直平分AB，OA²=OX*OP
2) 由CD//AB，故OP⊥CD。又CD是圆O的弦，所以OP平分弧CD
3) ∠PED=(1/2)*弧CD=∠POD，故P、D、O、E四点共圆，于是∠EPO=∠ODE
4) 又∠OED=∠ODE，于是∠EPO=∠OED=∠OEY，结合∠EOY公共，易证△OEY∽△OPE，于是OE²=OY*OP
5) 比较1)、4)的结论，结合OA=OE，有OX=OY，故点X、Y重合，即OP、AB、DE相交于同一点X，既然X是AB的中点，故DE平分AB

cyz

我刚中考完。
全忘光了

tm__xk

给个不用定理的算了....

AF/BF=(AD*AE)/(BD*BE)=(BC/BE)/(AC/AE)=1.

Paracel_007

原帖由 tm__xk 于 2010-7-13 03:56 发表
直接对AABCED用Pascal算了..= =||||

太巧妙了。。。

tm__xk

ms..我是后来才发现的..

Paracel_007

19楼和10楼是一样的吧…

tm__xk

再换一个..

延长PD交圆于G,DE交CG于F',则P的极线AB过F'==>F=F'

LYQ

原帖由 五叶草 于 2010-7-12 16:17 发表
很遗憾，我是初二的。。。。。。。。。

ME,TOO!快初三了.