几何题5

石崇的BOSS

已知M为△ABC的角平分线AD的中点，以AB为直径的圆交CM于点F，以AC为直径的圆交BM于点E。
求证：（1）   M E D F 四点共圆 （2）   B E F C 四点共圆

钟跃民

唉，我都忘了四点共圆的那些个条件了…………
需要具备什么条件，都忘了忘了…………

tm__xk

作小圆的弦C$//AD.
  AB$/BD$=AB$/BC$*BC/BD
=(AB*A$cos(A/2))/(BC*C$sin(C+A/2))*(AB+AC)/AB
=(sinB+sinC)/sinA*tan(A/2)*cos(A/2)/sin(C+A/2)
=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)/sinA*sin(A/2)/sin(C+A/2)
=2cos(A/2)sin(C+A/2)/sinA*sin(A/2)/sin(C+A/2)=1
==>BEM$共线
==>角AEM=A/2
==>BM*EM=AM^2=DM^2
同理CM*FM=DM^2==>BCEF共圆
角FEM=BCM=FDM==>DEFM共圆

Paracel_007

平几至今是我比较头痛的一块内容。。。虽然给足够的时间基本上都能做出来。。。40分的题目啊。。。

superacid

说实话，这些知识和技巧老师是不会教的，要自己去学习

石崇的BOSS

嗯，我比较爱好数学，我发出来的题目大部分都是自己没有得到解决的，如果会解决了，很高兴，当然要把解答发上来了

五叶草

LS真用心，可这块知识点还没教，我一点也看不懂。。。。。。。。

石崇的BOSS

回7楼，果然高手，我来完善一下证明：

(1)设以AB为直径的圆交BC于H，连接AH，则∠AHB=90°，故∠AHC=90°，所以点H也在以AC为直径的圆上，故两圆与BC共同交于点H，
在BM上取一点E'，使得∠MAE'=∠MBA，连接AE',E'D,E'H,MH,
则由△AME'∽△BMA得出MA²=ME'*MB，又MA=MH=MD，故MH²=ME'*MB
因此△ME'H∽△MHB，故∠ME'H=∠MHD=∠MDH，又∠ME'A=∠MAB=∠MAC，
故∠AE'H+∠ACD=∠MAC+∠MDH+∠ACD=180°，故A,E',H,C四点共圆，因此点E'和E重合，故∠MEH=∠MDH，得出M,E,D,H四点共圆，
同理在MC上取点F'，使得∠MAF'=∠MCA，可以证明出点F'于F重合，从而M,F,H,D四点共圆，因此有M,E,D,H,F五点共圆，故M,E,D,F四点共圆.
(2)连接EF,DF，则由△MED∽MDB得出∠MBC=∠MDE=∠MFE，故B,E,F,C四点共圆.

chuchudengren

好思路啊，这样可以有一个很无聊的方法：
做<MAE'=<ABE交BM与E'，做AH垂直BC于H，连接AE', E'D, E'H ,HM。
AM2=MH2=MD2=ME'*MB所以<AE'M=<BAM=<MAC   <ME'H=<MHB=<MDH 故而AE'HC四点共圆，所以E与E'重合。
剩下就好弄了

石崇的BOSS

个人认为：易知两圆和BC交于一点G，由几何画板得出M,E,D,G,F五点共圆，应该先证明M,D,G,F四点共圆，再证明M,E,D,G四点共圆，从而得出M,E,D,F四点共圆，期待过程……，或许不是这样证明的