三阶“限定180度旋转”和“只旋转中层”的状态数各是多少？

noski

<P>RT，对于三阶：</P>
<P>1、每个面只能做180度旋转，求它的总状态数；</P>
<P>2、只允许转动中层，求它的总状态数？</P>

smok

GGGLGQ是如此地沉溺于皇帝新装，令人感动不已

[ 本帖最后由 smok 于 2010-1-13 11:09 编辑 ]

noski

补充个资料：
只使用180度转动：
Analysis of the 3x3x3 squares group
-----------------------------------
Moves Deep         Arrangements
   0                    1
   1                    6
   2                   27
   3                  120
   4                  519
   5                1,932
   6                6,484
   7               20,310
   8               55,034
   9              113,892
  10              178,495
  11              179,196
  12               89,728  
  13               16,176  
  14                1,488  
  15                  144   
                  -------      
                  663,552  

只旋转中层：
Analysis of the 3x3x3 Slice Groups
----------------------------------
Moves Deep   Arrangements
  0               1
  1               9
  2              51
  3             247
  4             428
  5              32
                ---
                768
-----------------------------------------
任何一个有自知之明的人都不贩卖所谓48同态，何况是伪循环变换理论（注：即众所周知的相似变换）的作者

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-1-13 11:02 编辑 ]

earthengine

原帖由 乌木 于 2009-1-17 17:04 发表
极初步地摸索了一下，1、3、6、8号角块（用限转180度方法）排列到1 ，3，6，8号位置的24种方式中，仅就这4个位置而言（！），12种为非扰动态（偶数个偶循环或1个三循环）；有12种为扰动态（奇数个偶循环）。

猜想 ...

角块族要除以6是正确的。因为180度转要完成角块单一三轮换是不可能做到的，同时角块要进行奇置换也做不到。但是根据前面的gg兄之前给出的公式，棱块三轮换是可以做到的。所以棱块只要除以2。

可以降到2阶考虑：二阶如果拿一个角块作参照，只考虑剩余7个角块，那么在180度转下总的状态数有多少种？

[ 本帖最后由 earthengine 于 2009-2-15 11:48 编辑 ]

tyeken8

这个……………………………………

noski

(R2U2R2F2)2
好公式。。看来我17楼说的不对了。。

Cielo

原帖由 乌木 于 2009-1-17 17:04 发表
...
3个棱块四元环的情况一时还未摸索（故下面说法中的“6”还不知其来龙去脉）。

初步问问，Cielo兄的猜想“角块簇要除以6、棱块簇要除以2”是否可以改为“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”?

惭愧啊，我也只是随口说说，因为我看到 2阶180°状态非常少所以才让角块簇除以6。但实际上 3阶的角块簇在 180°状态里可以是那些状态经过某些整体旋转得到的，所以“角块簇除以6”大概是错的了。

原帖由 noski 于 2009-1-18 19:58 发表
...
比如角块两个环全还原了，棱块两个环全还原了，最后一个棱块环有一个三循环，那这个状态用180度转动可以还原吗？可以探索一下。。

这种情况我以前发过一帖《180°状态集里的一个状态》，我当时只会一种比较麻烦的复原方法。是ggglgq给出了(R2U2R2F2)2 这个简单的公式！

noski

呵呵，说得我也晕了。这里不要叫扰动态了吧，因为180度转出来的都是非扰动的，不是一个定义。另外，能搭配出来的状态，用180度转动都能还原吗？比如角块两个环全还原了，棱块两个环全还原了，最后一个棱块环有一个三循环，那这个状态用180度转动可以还原吗？可以探索一下。。

乌木

接着我16楼思路想。

三组棱块四元环（1 3 5 7；2 4 6 8和9 0 A B号棱块）的头两组，先和两组角块一样（15楼），获得24^2 / 2个棱块态，它们都是（就头8个棱块位置而言的）非扰动态；再和两组角块不一样地，暂时保留（就头8个棱块位置而言的）扰动态－－第一组的非扰动态搭配第二组的扰动态以及第一组的扰动态搭配第二组的非扰动态，又（暂时）获得24^2 / 2个棱块态。

再和第三组棱块的24个态搭配。现在的搭配要保证获得（就12个棱块位置而言的）非扰动态。

头两组的24^2 / 2个非扰动态搭配第三组的12个非扰动态，得到24^2×12 / 2个；
头两组暂留的24^2 / 2个扰动态搭配第三组的12个扰动态，得到24^2×12 / 2个，这些态变成非扰动态了。
一共得到24^2×12＝24^3 / 2个棱块态。

所以，角块和棱块一起考虑，限表层180度转的状态数为（24^2 / 2）×（24^3 / 2）＝24^5 / 4。

我错在哪里？如果在最后的（8个角的）角块态搭配（12个棱的）棱块态时，把15楼舍去的扰动态角块态数请回来，也把本楼上面舍去的扰动态棱块态数请回来，两者也可搭配得到非扰动态，这找回来的态数也是24^5 / 4。

那么，最后答案也只是变为 24^5 / 2  ，不等于你们说的24^5 / 12 。

不知我错在何处，大概我的思路是死胡同？

noski

乌木老师果然厉害，我都没有细想这些，可能性不能一下子除以12，而是要棱块角块分开的。
按16楼的棱块编号，可能情况有4种：
1   3          3   1          5   7          7   5
5   7          7   5          1   3          3   1
正是4/24，即1/6。
再加上15楼指出最后一个角块四元环的24个状态中有12个是非扰动态，即1/2。
最后，正是“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”，Cielo说的也很有道理，不过要稍稍改为：
（24^2 / 2）×（24^3 / 6）＝24^5 / 12