证明题

jx215

证明当n>4且n为整数时，2^n>n^2

Xwam

表示数学归纳法超级简单~~~

IndianaJones

n=5
2^5>5^2
不妨设2^k>k^2
k>=5时，k>3>2+1/k即k^2>2k+1，根据假设推出2^k>2k+1
(1)2^(k+1)=2^k+2^k
(2)(k+1)^2=k^2+2k+1
(1)>(2) over

[ 本帖最后由 IndianaJones 于 2011-2-8 12:59 编辑 ]

zwf462894334

用作差法，高二不是有讲过吗！

小七阶

这是将其看作函数，然后求导，证明其增减性来证明

小七阶

你在假设中又用了假设，想法我认为不好。这样吧，你把我的第一部改成当n=5时，应该就和你要求了

jx215

原帖由 因扎吉 于 2011-2-8 10:42 发表
做个差函数求个导……

求导如何证明呢?

jx215

原帖由 小七阶 于 2011-2-8 10:54 发表
证明：当n=4时，2^4=16,4^2=16，左边＝右边
假设当n=k时，2^k>k^2
当n=k+1时，2^(k+1)=2*2^k>2*k^2
2*k^2-(k+1)^2=(k-1)^2-2，又因为k>4，所以(k-1)^-2>0
即2^(k+1)>(k+1)^2
故当n>4时，假设成立

下次不用手 ...

我的有点不一样，看看有何问题

证明：当n=5时，2^5=32>5^2=25，成立
假设当n=k时，2^k>k^2成立
当n=k+1时，需证2^(k+1)=2^k+2^k>(k+1)^2=k^2+2k+1

现在先证明2^k>2k+1
k=5时，2^k=2^5=32>2*5+1=11,成立
假设k=x时，2^x>2x+1成立
当k=x+1时，需证2^(x+1)>2(x+1)+1成立
有2^x>2
2^x+2^x=2^(x+1)>2x+1+2=2(x+1)+1 成立
所以 2^k>2k+1

代入上式，得到 2^k+2^k>k^2+2k+1
2^(k+1)>(k+1)^2

得证。

小七阶

应该没问题了吧，LZ要自己多思考，这题是基础题