“有多少种涂色方法”

yuanyao831

<P>用4种颜色给一个<STRONG>平行6面体</STRONG>涂色，每个面涂一种颜色，要求每两个有公共棱的面所图的颜色不同，则涂色的方法有多少种？</P>
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<P>一道高中试题，请告诉算法 ，不胜感激</P>

kexin_xiao

高三的排列组合，想起来了，20年了都忘了，呵呵

金眼睛

<P>也来谈谈对这个问题的看法：&nbsp;</P>
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<P><STRONG>1：对于一个平行六面体，像魔方一样，先规定出UDLRFB各个面。</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG>&nbsp;</P>
<P>如果U和D颜色相同，则LRFB分为两种情况，一种是LR，FB分别同色，一种是有一对同色，另一对异色。 </P>
<P>UD颜色相同涂色方法数=UD颜色可能情况*(LR颜色可能情况*FB颜色可能情况+(LR，FB谁一对同色)*同色颜色的可能情况*剩下面颜色排列情况)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =C(4,1)*(C(3,1)*C(2,1)+C(2,1)*C(3,1)*P(2,1))</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =4*(3*2+2*3*2)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =72种</P>
<P>如果U和D颜色不同，则LRFB必然各自同色，因为只剩下两种颜色了。</P>
<P>UD颜色相异涂色方法数=UD颜色排列情况*LR颜色可能情况</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =P(4,2)*C(2,1)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =4*3*2</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =24种</P>
<P>因此，对于平行六面体来说，涂色的总方法数为72+24=96种。</P>
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<P>前面有人认为UD颜色不同的时候，UD可以交换位置，我个人认为是不可以的，这个问题有待讨论。</P>
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<P>我的理由如下，假设将平行六面体的LR面涂成红色，FB面涂成蓝色，U面为黄色，D面为绿色。当我们从上向下俯瞰U面的时候，假设看到的是L，F，U三个面，则在三个面的交点处，红-&gt;蓝-&gt;黄，是呈逆时针方向；当UD颜色交换后，一定是将平行六面体翻转过来，这时候露出的R，B，D三个面交点处，红-&gt;蓝-&gt;黄，是呈顺时针方向，所以UD颜色交换的效果不同。</P>
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<P><STRONG>2：对于其他特殊的平行六面体，需要分别计算，也是利用排列组合的原理，其中包括：</STRONG></P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>U面是菱形，棱线垂直于U面的情况：</STRONG>C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+P(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3=24+12=36种。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>U面是正方形，棱线垂直于U面的情况：</STRONG>C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+C(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3/2=24+6=30种。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>注：这两种情况的区别在于，正方形可以在90度旋转下保持形状，而菱形只能180度旋转，差别在UD颜色相异的情况。</P>
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<P>棱形UD相异12种 UDLRFB：</P>
<P>123344-124433-132244-134422-142233-143322-231144-234411-241133-243311-341122-342211</P>
<P>正方形UD相异6种 UDLRFB：</P>
<P>123344-132244-142233-231144-241133-341122</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>正方体：</STRONG>三组相同+两组相同&nbsp; C(4,3)+C(4,2)=C(4,1)+C(4,2)=4+4*3/2=4+6=10种。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>正方体的方法前面已经有人给出了，我只好给结果了，o(∩_∩)o...</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>正方体10种 UDLRFB：</P>
<P>112233-112234-112244-112344-112433-113344-123344-132244-142233-223344</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>顺便说一句，每种情况正方体UDLRFB涂色可以变化，但它们被视为一种涂色方法。对于正方体的每个角，如ULF面形成的角，它可以在八个角的任意位置，同时可以进行三种旋转，变化数为二十四。</P>

[ 本帖最后由 金眼睛 于 2008-5-27 13:08 编辑 ]

kexin_xiao

不明白，学习中

doctorli

如果是立方体,一个面四个棱,那共用一条棱的面都不同颜色,至少得有四种和此面不同的颜色啊,至少5种颜色才够用的啊?魔方要是4种颜色,就一定有相邻两面同色的情况.

毕业太久了,已经忘了什么叫平行六面体了,立方体算其中一种吗?大家别见笑啊

阿猪

whitetiger

原帖由 <I>geslon</I> 于 2008-4-3 18:08 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=107050&amp;ptid=7177" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<P>我还是不认为自己错误的理解了出题人的意图。出题人告诉你是个平行六面体，无非是想告诉你所有面均为四边形而已，并不一定隐含“旋转后一样的方案就是一种方案”这样的意思。 这个也没有什么可以争论的，因为你我都不是出题人。 如果不说平行六面体，它可能是一个每面都是三角形的六面体。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>楼上也批评我理解错了，你也认为题目没有列出的可以看做隐含条件，我想，我确实有可能错了，虽然我并不服气。但是，如果真的是隐含条件，要分情况讨论了： </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>1，假设是普通的平行六面体，答案是60，楼上已经有详细论述。 </P>
<P>2，如果是特殊的平行六面体，又分为两种情况：</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;a，六个面完全对等，比如是一个正方体，答案是10，楼上也已经论述过。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;b，其中4个面对等，比如是一个底面为正方形的长方体，答案楼上没有列出，这种情况楼上也没有考虑周全。经过计算应该是12+12+6=30种。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>这才是你所说的隐含条件成立的“完全解答”。一个高中生，要求他做出如此完整的解答，貌似有些困难。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>所以我还是认为这道题出题人的真正意图就是我所说的那样。</P>
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<P>你说的有道理，但关于隐含条件，各人有各人的理解，我们都不知道出题人的意图，那就靠个人理解了。</P>
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<P>既然说是“平行六面体”，就只能当作是普通的平行六面体来理解，对面全等，其它的面即使全等，也不能利用该条件，不能利用假设的条件。所以答案就是60。</P>
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<P>我分析正方体的情况，是为了给8#看的，并非答案的一部分。</P>
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<P>当然，<EM>geslon</EM>认为这个假设不成立，也没问题。大家争鸣，能把问题讨论得更清楚。</P>

ivankameryn

我觉得17楼说的对.
但是这里的答案五花八门的...

geslon

<P>真晕，排版真差。都成了一堆了。</P>

geslon

<P>我还是不认为自己错误的理解了出题人的意图。出题人告诉你是个平行六面体，无非是想告诉你所有面均为四边形而已，并不一定隐含“旋转后一样的方案就是一种方案”这样的意思。 这个也没有什么可以争论的，因为你我都不是出题人。 如果不说平行六面体，它可能是一个每面都是三角形的六面体。 </P>
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<P>楼上也批评我理解错了，你也认为题目没有列出的可以看做隐含条件，我想，我确实有可能错了，虽然我并不服气。但是，如果真的是隐含条件，要分情况讨论了： </P>
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<P>1，假设是普通的平行六面体，答案是60，楼上已经有详细论述。 </P>
<P>2，如果是特殊的平行六面体，又分为两种情况：</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;a，六个面完全对等，比如是一个正方体，答案是10，楼上也已经论述过。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;b，其中4个面对等，比如是一个底面为正方形的长方体，答案楼上没有列出，这种情况楼上也没有考虑周全。经过计算应该是12+12+6=30种。 </P>
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<P>这才是你所说的隐含条件成立的“完全解答”。一个高中生，要求他做出如此完整的解答，貌似有些困难。 </P>
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<P>所以我还是认为这道题出题人的真正意图就是我所说的那样。</P>

[ 本帖最后由 geslon 于 2008-4-3 18:29 编辑 ]