求关于魔方的严格证明

guilin088

最近在学习CFOP，给公式搞得焦头烂额。不过有一个额外的发现，也是一个问题一直困扰着我。
任意一个公式，不管是F,O,P。。。比如oll的F（RUR'U'）F'，都可以在魔方还原的情况下开始转有限次后回到原来的状态。这个问题我用数学证了好久也没有证出来。求高手指点。。

咖啡味的茶

反证法是很好的方法，几乎是一句话就解决了这个问题。
因为魔方状态的改变对于某一个公式来说是固定的，组成一个或者几个封闭的“圈”，每一个圈是有周期的，当某一个数是每一个圈的周期的倍数的时候，那么这个就是周期。

superacid

有限群的元素的阶是有限的。。。

jinxian

　　
　　
  
    基本上支持 胡波 先生的观点，尤其是非常赞同 胡波 先生“最小周期”的提法。
  
    需要提醒 乌木 和 大家 的是：
  
    魔方“公式”的“最小正循环周期”为“正有理数”，而并非“正整数”。
  
   
  
    注： 这里的“最小正循环周期”中的“最小”和“正”是不能省略的，“正”就不必多解释了吧？！
  
    对于“最小”，我可以非常 明确、负责 地告诉大家：
  
    在数学中，存在 有“循环周期”而没有“最小正循环周期” 的函数。

    因此在正规数学教材中，对存在 最小正 “循环周期”的提法都是“最小正循环周期”！
  　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 jinxian 于 2011-3-8 09:12 编辑 ]

jinxian

原帖由 乌木 于 2011-3-7 20:26 发表
问个问题。

不断做公式且永不停止，好像并不违反什么吧？
如果允许，那么，“ a0，a1，……，an，an+1，……”应该可以是无限的，对吗？
其中可以看到周期性复初：a0，a1，……ax＝a0，……a2x＝a0，……，a3x＝a0，……（x遍为公式的重复周期）。
这种无限和魔方的总态数有限不矛盾。
这里从a0到a1之间的状态数目（做公式时一步一态）则因公式步数有限而有限，且a0到ax之间因为没完成一个周期而没有重复。（此外，a1又和ax+1一样，…………等等，即“同相位”的态是一样的。）
如果a0到a1之间有非a0的重复态，那是公式本身有无效步骤，是另一问题，且不影响整个公式的周期性。

我这样想对吗？

         ...

　　
　　
　　

    魔方“公式”的“最小正循环周期”为“正有理数”，而并非“正整数”。


       我们大多数魔友所说的“循环周期”是特指魔方 “状态”的 最小正循环周期。

此时，魔方的“最小正循环周期”为“正整数”。但是魔方“公式”的最小正循环周期

为“正有理数”，而并非“正整数”。          再看看 N阶理论区 的某些帖子让人心寒、

令人感慨！



    1、比如：纯色三阶魔方“状态” U F' 的最小正循环周期为 63 ，

又如：纯色三阶魔方“状态” U F'U F' 的最小正循环周期也为 63 。



    2、虽然：纯色三阶魔方“公式” U F' 的最小正循环周期也为 63 ，

但是：纯色三阶魔方“公式” U F'U F' 的最小正循环周期却为 31.5 。


    3、这种问题对于全色三阶魔方也是一样，即

    魔方“公式”的“最小正循环周期”为“正有理数”，而并非“正整数”。


   
  
  
    相关内容请大家参考：

                                      正六面体三阶魔方周期性问题
     
   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=10920&page=1#pid177981
  
　　                             最小循环周期为总状态数的魔方

    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5240　　


                                     这些问题能用魔方理论表述吗？

     http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5233



  

    大家不妨可以计算一下“公式” U U U 或 (U F')62 的“最小正循环周期”。
　　
　　
　　
　　

hubo5563

-   
        你说的对，我们只考虑一个公式的整体效果，不考虑做公式的中间状态，如果a0到a1之间有非a0的重复态，那是公式本身有无效步骤，是另一问题，且不影响整个公式的周期性。
我们可以这样考虑：
        从a₀开始每做一次F，出一种状态a_i，然后和前面比较检查是否和前面i-1个重复，如果不重复就继续做，由于魔方总态是有限的，所以不可能一直做下去，因此，必有某个m，使得a_m与前面的某个a_k重复，假定m是第一次出现重复的最小正整数。我们可以断定k=0.也就是说a₀=a_m。如果k≠0那么我们在等式两边各做F的逆公式k次，就会得到：


      a₀=a_m-k，而m-k小于m，与m是第一次出现重复相矛盾。


所以，m是公式F的最小周期，a₀和a_m-1是不会有任何重复的。







[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-8 08:20 编辑 ]

乌木

问个问题。

不断做公式且永不停止，好像并不违反什么吧？
如果允许，那么，“ a0，a1，……，an，an+1，……”应该可以是无限的，对吗？
其中可以看到周期性复初：a0，a1，……ax＝a0，……a2x＝a0，……，a3x＝a0，……（x遍为公式的重复周期）。
这种无限和魔方的总态数有限不矛盾。
这里从a0到a1之间的状态数目（做公式时一步一态）则因公式步数有限而有限，且a0到ax之间因为没完成一个周期而没有重复。（此外，a1又和ax+1一样，…………等等，即“同相位”的态是一样的。）
如果a0到a1之间有非a0的重复态，那是公式本身有无效步骤，是另一问题，且不影响整个公式的周期性。

我这样想对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-7 21:22 编辑 ]

hubo5563

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    我们用F表示魔方的一个公式，a表示魔方的一种状态，用F(a)表示魔方状态a经过F变换后的状态。
    任何一个公式的反序列是存在的，这只要倒着做每一步的逆步骤即可，因此F的逆公式存在，我们用F^-1表示。
假定a₀表示魔方的初始状态，a₁=F(a₀)表示由初始态做一遍公式F后的状态，用a₂=F(a₁)=F²（a₀)表示由初始态做两遍公式F后的状态，依次类推，用a_n=Fⁿ(a₀)表示由初始态做n遍公式F后的状态，这个公式对任何整数u和v以及魔方的任何状态x是成立的：
       F^-u(F^v(x)=F^v-u(x)
       这表示魔方状态x做v次公式F，然后再做u次F的逆公式F^-1，自然与从状态x做v-u次公式F相同。
       我们用反证法证明必有一个自然数m存在，使得a_m=a₀。假定命题不成立，推出矛盾即可。
        由于魔方的总状态数是有限的，所以：
        a₀，a₁，……，a_n，a_n+1，……
不可能是无限不重复的。假定在状态序列里，最小的k，和z是使得a_k和a_z相等的，并且z>k那么，令m=z-k。
     既a_k=a_z，也就是，F^k(a₀)=F^z(a₀)
     那么用F^-1，同做等式两边的状态k次就是：
     F^-k（F^k(a₀)= F^-k（F^z(a₀)
由此推出：
     a₀=F^z-k(a₀)=F^m(a₀)=a_m
     这样就可得到a₀=a_m来，与假设矛盾。
因此这样的m是存在的。
     这里证明只用到魔方状态是有限的性质，因此，由于任何魔方的总状态数是有限的，所以任何魔方的任何公式都有这个性质。








[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-7 17:41 编辑 ]

Xwam

这个具体证明还真不知道~~不过任何公式都可以~~
看看乌木的帖子~~学习一下~~~

乌木

楼主善于发现问题。此事像样的、严格的证明我不会，只能试试分析、推理一下。

假定任何一列步骤姑且都叫“公式”，执行一遍公式后，魔方没有散架，没有更换哪个块，原来那些块还都处于一个立方体中，只是生成了或多或少、或大或小的块的位置循环（位置有变化的话一定是循环！），循环内的块的色向或有变或没变。
任何状态分别经受同一公式后，一般而言结果总是不一样的，但是，由于公式是大公无私的，发生的变化模式一定是完全一样的！比如，任何状态做一下U，都是顶层四个角块和四个棱块同时四轮换，还有中心块自转90°，轮换时有关的角块、棱块保持原来的色向不变。
既然是有了各种循环，这些循环的大小总有一个最小公倍数n，做n遍公式后，各块的位置当然复原啦！各循环生成后，就像走马灯一样，在重复做公式时，循环内的成员不可能再调包的！此事乃是一个立体的、复式的走马灯在演示。
如果做一遍公式后，各循环内角块的色向和是3的倍数，或棱块的色向和是2的倍数，那么，在一遍一遍做公式后，各循环内的色向和也不可能改变，故n遍后各块位置和色向都复初了。
如果做一遍公式后，有的循环内角块的色向和不是3的倍数，或棱块的色向和不是2的倍数，由于同一公式造成的色向变化模式也是一视同仁的（比如，任何状态做一下F的话，总是有关的四角改变它们原来的色向，四棱也改变它们的原色向），且这里的色向变化也是有周期性的，要所有的块位置和色向都复原的话，只要做3n或2n遍公式即可。（如果少数循环要求3n遍或2n遍，多数循环只需n遍，那也没办法，此事不能少数服从多数，而要多数服从少数！因为此处探讨的是重复做同一公式的问题，不允许半途更换公式。）

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-5 17:01 编辑 ]