圆中证等边

石崇的BOSS

点H为△ABC的垂心，以AB为直径的圆O₁和△BCH的外接圆O₂相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH中点


[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2011-3-30 21:06 编辑 ]

石崇的BOSS

随便找的 ，说不上来由

zhudapigu

楼主这些题目哪来的？不会是自己编的吧，是从书上来的吗？

石崇的BOSS

嗯，谢谢啊，要快捷些

石崇的BOSS

A,B,E,D四点共圆，得出∠PDE=∠ABE
H为△ABC垂心，得出∠ABE=∠PHE

zhudapigu

我有个稍微简单点的证明方法，在证出△EPD∽△APE后得角EDP=角PEH=角PHE，又因为在直角三角形中，所以PH=PE=PC，即得证。

zhudapigu

不懂为什么∠PDE=∠ABE=∠PHE，求楼主解答

[ 本帖最后由 zhudapigu 于 2011-3-26 19:05 编辑 ]

石崇的BOSS

设BC交圆O₁于E，连接EP,ED,EA,EO₁,DH,DB，
显然H在AE上，则∠PDE=∠ABE=∠PHE，得出P,D,H,E四点共圆，
故∠DEP=∠DHP=∠DBC=∠DAE，又∠EPD=∠APE，故△EPD∽△APE，
因此有PE²=PD·PA，故PE是圆O₁的切线，
于是∠PEO₁=∠CEA=90°，故∠PEC=∠O₁EA=∠O₁AE=∠PCE，
因此PE=PC，从而有PH=PC，故结论成立.