一个猜想

华容道

若一个半径为R圆面被分成等面积的3部分，则分割线的长度之和不小于3R。
对于“若一个半径为R圆面被分成等面积的n（n≥2）部分，则分割线的长度之和不小于nR”的这个一般化命题，
通过魔友的讨论已经知道：当分割部分数n≥4时命题不成立。但是此种情况之下的最短分割线又是什么呢？

[ 本帖最后由 华容道 于 2011-5-14 21:33 编辑 ]

Cielo

学习了！

圆弧（直线看作半径无穷大的圆弧）、120°、垂直 这几个条件感觉都很自然啊！不过没想出来怎么证……

lanjingling

原帖由 西北天狼 于 2011-4-29 21:15 发表

120°是猜想，还是已经证明？还有n=4的情况，直观地想象 弧线长度＞直线长度 才符合实际！相当疑惑。

23楼的图中，计算数值比较复杂，但证明其分隔线总长度小于4r是容易的，证明过程中能够看出为什么要确定为120°夹角的原理。

lulijie

O为圆心，A为圆弧和线段的交点，B为圆弧与外圆的交点。
DA与AE成30度角，DB垂直于OB。
按照题意，弧EB、弧BA、线段EA围成的图形的面积等于圆面积的1/8.
即（扇形DAB-三角形DAB）+（扇形OBE-三角形OBE）+三角形ABE=圆面积的1/8
可以计算出DA值（弧AB的半径）和OA值。
这样分割线总长=4*弧AB+2*OA

lanjingling

是这样的，我刚发了后就怀疑不正确，但一时没有没想好，然后就吃饭去了，呵呵！18楼说得很具体。

西北天狼

原帖由 lulijie 于 2011-4-29 20:42 发表
19楼的图还不是最短分割线的图，因为有共同点的3条分割线不满足彼此呈120度角的条件。
还有n=4的情况，并不是像楼主想像的那么简单（2条相互垂直的直径）。最短分割线总长不是等于4R，而是小于4R.

120°是猜想，还是已经证明？还有n=4的情况，直观地想象 弧线长度＞直线长度 才符合实际！相当疑惑。

lulijie

楼上有兴趣的话可以计算23楼图所示的分割线总长，
计算出它不是很简单的。

华容道

貌似“斯坦纳树”

lulijie

n=4的图应该是这样分割才能得到最小值：

分割线由4条圆弧和一条线段组成，圆弧与线段成120度角，圆弧与外周圆垂直。

华容道

楼上的朋友找到n=4时的反例了？贴出来看看