双锁谜题所用拓扑学的直观解释

poe

我以双锁谜题为例对所用代数式给出一个比较直观的说明。
按顺时针观察绳子。
从下往上穿越黄锁记作a，从上往下穿越黄锁记作a^(-1)；
从下往上穿越绿锁记作b，从上往下穿越绿锁记作b^(-1)。
图中绳子对应代数式aba^(-1)b^(-1)。
将两把锁扣住，效果为字母乘积可交换：aba^(-1)b^(-1)=aa^(-1)bb^(-1)=e (单位元)；
将黄锁打开，效果为字母a,a^(-1)可从式子中拿去，从而：aba^(-1)b^(-1)=bb^(-1)=e(单位元)。
若绳子对应单位元，则可能取下来；若绳子没对应单位元，则绝不可能取下来。

[ 本帖最后由 poe 于 2011-5-4 23:49 编辑 ]

qiaoyisi

版主可以多看点拓扑学方面的书，这样可以高屋建瓴的看问题。

poe

版主还是瞅瞅书里边的基本定义吧，我这样给你解释很麻烦，短短几句话不可能说清楚。

poe

注意基本群中的元素对应的理想绳圈（非谜题中的绳圈）可以自身穿越，不能穿越梁。一个三维空间中的物体的补空间指将此物体从三维空间挖去之后的剩余空间。所以梁的补空间的基本群与梁和绳圈的补空间的基本群不一样，前者只能给出可解的必要条件，后者可以给出充分必要条件。

你这里其实考察的只是梁的补空间。当梁是一个简单的平凡闭环时，基本群同构于整数加群Z，此群所承载的谜题的拓扑信息很少。所以你需要考察梁和绳圈的补空间的基本群才能获取足够多的信息。

上面七个绳圈（理想绳圈）对应的元素依次是 a ，aa^(-1)，a^2，aa^(-1)，aa^(-1)，aa^(-1)aa^(-1)，aa^(-1)aa^(-1).  因为群与整数加群同构，所以可以简写为 1，0，2，0，0，0，0。

要考察梁与绳圈补空间的基本群中的元素，你得添加辅助的理想绳圈才行，让此理想绳圈在原始谜题的梁与绳圈（视为一体）间缠绕。

忧天杞人

下图中的几个结构，用代数形式该如何表示呢？（这个问题是不是很外行啊）

poe

双锁谜题原始出处见： http://blog.sina.com.cn/s/blog_8d1adcb301014671.html
使用基本群证明太极环不可解的小论文见：http://sma.epfl.ch/~ojangure/Notes.pdf

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-17 04:51 编辑 ]

poe

原帖中的式子也可以写成aba^(-1)b^(-1)=baa^(-1)b^(-1)=bb^(-1)
将两个锁视为三维空间中的两个环。没扣在一起的环对应的基本群为a ，b，a^(-1)，b^(-1) 做乘法得到的代数结构，群中的元素为 ab，bab^(-1)，aaba，bab^(-1)b^(-1)abaa等等，也就是任意用a ，b，a^(-1)，b^(-1)作乘法得到的元素（对应绳圈在两个锁上所有的缠绕方式（绳圈要标上方向）），这里的乘法无交换律。扣在一起的环的基本群也由 a ，b，a^(-1)，b^(-1)  做乘法得到，但此时乘法有交换律。
此群当然与上面的群不同构。

为什么会这样呢，当然有严格的数学证明，你看过基本的参考书自然明了，书里一般以例子或习题的形式出现。此处我不可能几句话就解释清楚，需要你对群及基本群的概念有所了解才行。双锁谜题的效果即是其直观解释。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-17 04:39 编辑 ]

忧天杞人

将两把锁扣住，效果为字母乘积可交换
对这句话不大理解

poe

补充： 对于魔方、滑块谜题和拓扑谜题，“群”极为有用，可以直接刻画谜题的对称结构。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-16 21:17 编辑 ]

poe

鉴于版主已经燃起对巧环相关数学的兴趣，我强烈建议你看点基本群和纽结方面的初等知识。在此先给出通俗的说明。为区分两个物体，我们一般不必知道它们的所有信息。例如根据性别、身高、体重等可以区分两个人，根据曲面上洞的个数区分开球面、救生圈、眼镜框（考察数字）。为区分纽结、巧环等，则赋予它们一种代数结构（如基本群），这种代数结构在对它们进行拓扑变形时保持不变。虽然基本群不能涵盖它们的全部信息，但足以判断巧环的可解性（考察代数结构）。通过考察初始巧环与绳梁分离后的巧环的代数结构的异同即知是否可解。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-16 20:49 编辑 ]