[原创]基于N阶定律的魔方状态数计算公式:第三版

pengw

     忍冬

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计算魔方状态数向来是一个经典魔方问题,也是检验魔方理论正确与否的一个关键因素.数学意义下的魔方状态与魔方着色没有任何关系,魔方状态数与花色数可能相同也可能不同,视着色方法而定.花色数少于或等于魔方状态数,因此这里首先讨论状态数计算,再引深到纯色魔方花色计算.本文在此给出任意阶魔方状态数计算的一般性方法和计算公式.

1.知识准备

掌握N阶定律,对普通排列组合知识有所了解

2.对象声明

除特别声明外,缺省以全色N阶正立方体鲁毕克魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定"

3.计算依据

扰动关系代表了基态簇与扰动簇的组合关系,扰动关系数代表基态簇与扰动簇的所有可能的组合.

依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同

保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数

4.计算方法

从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数

将所有簇的簇状态数相乘

将第2条的计算结果乘以扰动关系数.如果是偶阶魔方,计算结果要除24,以消除同态图案

5.公式推导

5.1全色魔方有色向簇的簇状态数计算

依据中心块簇内变换原则:

中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2

依据簇内通用三交换及色向变换原则:

中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2

边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3

5.2全色魔方无色向簇的簇状态数计算

用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知,任意无色向簇状态数:C=24!/2

5.3纯色因子

对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有24*24*24*24*24*12种相同状态,设W为纯色因子

w=24*24*24*24*24*12=95551488

5.4纯色魔方无色向心块簇状态数计算

设纯色魔方无色向心块簇的簇状态数为E

E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488)

5.5纯色魔方无色向棱块簇状态数计算

对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同花色的边棱块,依据簇内三交换原则,纯色魔方与全色魔方的无色向棱块簇的状态数相同,即24!/2

5.6扰动关系计算

用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知:

n>=1

R=2ⁿ

纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除扰动关系Φ外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数.

5.7偶阶魔方图案数计算

5.7.1阶数定义

n>=1

阶数=2n

5.7.2同态分析

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.

5.7.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-n

有色向簇的总数=1

图案数P=A*C^n2-n*2ⁿ/24

5.7.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w),此计算排除相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-2n+1

有色向簇的总数=1

图案数P=A*E^n2-2n+1*C^n-1*2ⁿ/24

5.8奇阶魔方图案数计算

5.8.1阶数定义

n>=1

阶数=2n+1

5.8.2同态分析

由于中心块相对位置不变,不含中棱块的转层不能产生与魔方整体转动相同的效果,因此奇阶魔方状态无偶阶魔方的同态问题.

5.8.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-1

有色向簇的总数=3

图案数P=H*M*A* C^n2-1*2ⁿ

5.8.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w), 此计算排除纯色导致相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-n

有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除

图案数P=M*A*E^n2-n*C^n-1*2ⁿ

6.相关说明

纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果.

7.纯色分析

7.1簇内二义问题

纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性，这些簇的块要么四四同色（心棱块簇、直棱块簇，心角块簇），或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇

7.2图案同构问题

同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案.

某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同构图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构图案.

7.3扰动缺失问题

导致扰动关系缺失，如三阶的扰动关系丢失中心块扰动，但扰动关系总数不变

8.计算举例

以下是全色魔方图案数计算:

二阶组合数:         3674160

三阶组合数:         8.85801*10²²

四阶组合数:         7.07195*10⁵³

五阶组合数:         5.28924*10⁹³

六阶组合数:         1.31*10¹⁴⁸

七阶组合数:         3.0395*10²¹¹

以下是纯色魔方图案数计算:

二阶组合数:         3674160

三阶组合数:         4.3252*10¹⁹

四阶组合数:         7.4012*10⁴⁵

五阶组合数:         2.82871*10⁷⁴

六阶组合数:         1.5715*10¹¹⁶

七阶组合数:         1.9501*10¹⁶⁰

以上计算结果与国外官方网站发表的数据相互映证,从而证明计算所依据的理论-N阶魔方定律是正确的

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^忍冬

[此贴子已经被作者于2006-11-8 6:54:59编辑过]

黑白子

铯_猪哥恐鸣 发表于 2013-10-1 01:11
不幸的是，已经有数学证明，为了求最小步，至少在复杂度上，不存在比枚举更有效的办法。

枚举不是有效办法，n阶魔方状态数太大，目前连三阶魔方都解决不了，何况更高阶呢？现在，除了2阶魔方搞清楚最远状态是14步外，高于2阶的一个也没有解决。估计在没有新的方法出现之前，n阶魔方最远状态将是人类不解之谜。

铯_猪哥恐鸣

pengw 发表于 2013-9-27 08:27
哦，这里只是告诉最小步玩家，将要面对什么样的状态及状态数，让他们不要把生命耗在枚举上，哈哈哈，开玩笑

不幸的是，已经有数学证明，为了求最小步，至少在复杂度上，不存在比枚举更有效的办法。

pengw

须要什么样的证明？

2490715998

黑白子 发表于 2013-9-17 14:01
n阶定律只有结论，没有证明。

为什么没有证明

pengw

哦，这里只是告诉最小步玩家，将要面对什么样的状态及状态数，让他们不要把生命耗在枚举上，哈哈哈，开玩笑

铯_猪哥恐鸣

哎。。看了这么多，莫名的想问一句，“so what?”

乌木

54楼pengw说的“1/2^11”，可能有人不清楚，我试试解释一下。
对于一个中心块具有方向性的三阶全色魔方来说，设每个中心块的四个自转方向都是看得出来的，那么，原来计算得到的纯色三阶的 4.3x10^19 个状态的每一个态，由于中心块的自转变化，状态数从一个态变成2048个态，故三阶全色魔方的状态总数变成2048x4.3x10^19 了。
2048 就是（4^5）x 2＝2^11。
这里不是乘以4^6，而是乘以（4^5）x 2，原因是用转魔方的方法（即不是拆了随机组装法），前五个中心块的自转方向确定后，最后一个中心块的自转方向没有四种选择，而只有两种选择：

*角块和棱块为偶态时，前五个中心块自转角度之和为偶数个90°的话（不论顺时针还是逆时针，180°算两个90°），最后一个中心块要么0°，要么180°；

*角块和棱块为偶态时，前五个中心块自转角度之和为奇数个90°的话（不论顺时针还是逆时针，180°算两个90°），最后一个中心块要么顺90°，要么逆90°；

*角块和棱块为奇态时，前五个中心块自转角度之和为偶数个90°的话（不论顺时针还是逆时针，180°算两个90°），最后一个中心块要么顺90°，要么逆90°；

*角块和棱块为奇态时，前五个中心块自转角度之和为奇数个90°的话（不论顺时针还是逆时针，180°算两个90°），最后一个中心块要么0°，要么180°。

总之，在任一状态时，在保持其角块和棱块的状态的条件下，要使六个中心块（在原有的自转情况的基础上）发生总共奇数个90°自转，是不可能的。

原因很简单，所谓“保持其角块和棱块的状态”，就是不改变其奇偶性，所以，为了中心块自转而做的表层90°转的总数只能是偶数，所以，偶数次表层90°转，是不可能造成奇数次中心块90°自转的。

pengw

N阶定律是归纳出来的，我一直认为，用N阶定律预言的状态计算方法就是最好的证明，这种自吹是描述状态构造的理论如果计算状态数都是错误的那还有什么价值？不幸的是，对任意阶，每次计算都是正确的，我一直都在企图证伪它，希望能得到大家的帮助

pengw

提示，去分析一下，纯色魔方任一无色向心块簇中同色的块的数量以及这些块如何进行变换便得魔方外观上看不出来，我也不喜欢纠缠于魔方的着色骗局，总不能说单色魔方的状态是1，对吗？所以，最好不要讨论与着色有关的问题，魔方变换和状态数与着色毫不相关，事实上，如果让你盲拧三阶，且要求中心块也要完全复原，也许没有那么容易，很多人也习惯于在有着色欺骗的魔方上取得成就感，反而对真象十分反感，绝色上玩复原的，如果要认真对待，三阶被真正复原的只占1/2^11，四阶真正被复原的状态只占1/E，玩三阶纯色魔方复原的，半年完成次数有几人超过2048次？，更不要说更高阶的纯色魔方复原，说狠一点，有些感觉良好的人，可能就重来没有复原过魔方。如果把中心块复原加上，盲拧三阶又是什么模样？四阶？五阶？世界最怕认真二字，哈哈