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“拆解”水立方 [复制链接]

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发表于 2011-7-13 00:20:15 |只看该作者 |正序浏览

摘要我国打造了一座令世界惊艳的游泳馆----「水立方（Water Cube）」，为2008奥运提供了历年来最豪华的比赛场所，而复杂的「水立方」到底是如何排列架构的呢？和多面体有什么关联呢？这引发了我的好奇心。我们先探讨要怎样的正多边形能组合成正多面体和半正多面体，再引申出各种正多面体，探讨要有几个同样的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体。发现若想以（半）正多面体去架构一个“方盒子”，就只能以正六面体去组合。最后进一步推广，去探讨“要有几种和几个不同的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体”以及“要怎样的不等边、不等角的多面体才能拼成更大的（半）正多面体”…等。

「水立方」的外观 (图一)

「水立方」的内墙结构(图二)
壹、研究动机 我国打造了一坐令世界惊艳的游泳馆──「水立方（Water Cube）」，为2008奥运提供了历年来最豪华的比赛场所，创下历年来最佳成绩。从外部整体(上页图一)与从场内的结构来看(上页图二)，都可以发现它是由许多的立方体所组成的，外观不规则的多面体气枕使它看似结构复杂，但其实它只用了十四面体和十二面体的钢架就构成了；而十四面体则是由12个五边形和2个六边形组合而成，「水立方」到底是如何排列架构的呢？引发了我们研究多面体的好奇心。我们利用《几何图形与角度》的概念推广，就此展开了探索多面体之旅。
贰、研究目的 一、探讨要怎样的正多边形能组合成正多面体和半正多面体？二、探讨要有几个同样的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体？三、探讨要有几种和几个不同的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体? 四、探讨要怎样的不等边、不等角的多面体才能拼成更大的（半）正多面体?五、探讨要几种等边、不等角的多面体才能拼成更大的相同立体？
参、名词解释一、立体角：即一立体之顶点，由三个或以上的面所组成。(如图 1-1)

(图 1-1) 二、正多面体：具有高度的对称性与次序感，又被称为「柏拉图多面体」。柏拉图多面体特征：每一个都是凸多面体，又在每一个顶点处交会着“相同数目”＆“全等”＆“正的”＆“凸多边形”。三、半正多面体：不同的正多边形，以相同的立体角组合成的立体。四、截角：将正多面体的各个顶点在棱的 1/3 处截去。每种正多面体生成一种截角多面体。五、截半：与截角多面体类似，将正多面体的各个顶点在棱的 1/2 处截去。六、斜方：将截半多面体再进行截角和截半处理。实际上这样并不能得到由正多边形构成的多面体，还须要加上一点想象力将其变形一下。七、扭棱：将 2 种由非三角形构成的正多面体(正六面体和正十二面体)的各个面拉开，向左扭转，填上三角形，你得到一种扭棱的多面体。向右扭转，又得到另一种。八、凹多面体：多面体里能找到相异的二点，使得此二点的联机除了两端点外不在多面体内部。长方体任二点的联机都会在它的内部。（任一个多面体若有成“Ｖ字型”的表面都被称为凹多面体，反之则称为凸多面体）。
肆、研究结果 一、探讨要怎样的正多边形能组合成正多面体和半正多面体：（一）探讨要怎样的正多边形能组合成正多面体：由研究过程(一)得知，唯有正三角形、正方形及正五边形能组合成正多面体。（二）探讨要怎样的正多边形能组成半正多面体：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形及正十边形能组成半正多面体。二、探讨要有几个同样的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体：在我们研究后发现，仅有正六面体能够将(半)正多面体堆栈成同型的更大(半)正多面体，因为除了正六面体以外的(半)正多面体，二面角角度皆不等于 90度，因此其余的(半)正多面体皆无法组成更大的立体。三、探讨要有几种和几个不同的（半）正多面体才能拼成更大的（半）正多面体： (一)一个正八面体(a)＋四个正四面体(b)＝一个边长两倍之四面体。 (一个 a＋二个 b，呈 180 度) (二）一个截角四面体(a)＋四个正四面体(b)＝一个边长三倍之四面体(一个 a＋一个 b，呈 180 度)由上述两例可知：只要接合的多个立体的所有接触的平面，角和≥180 度就可组成一个更大的(半)正多面体。四、探讨要怎样的不等边、不等角的多面体才能拼成更大的（半）正多面体? 多面体有分很多种（正多面体、半正多面体、凹多面体……）只要中间不是空心的立体，都可以算是一种多面体；所以如果以不等边、不等角的多面体来拼凑成更大的（半）正多面体，就会有无限多种组合。五、探讨要几种等边、不等角的多面体才能拼成更大的相同立体？只有等边、不等角的三角柱和等边、不等角的菱形柱体才可以拼成同一种更大的柱体，而且这两种柱体所堆栈的更大柱体可以无限扩大。
伍、结论 一、只要构成立体角的内角和＜360，即可拼成半正多面体。二、能够堆栈成大的立体的仅有正六面体，因为除了正六面体以外的(半)正多面体，二面角角度皆不等于 90 度。三、只要接合的多个立体的所有接触的平面，角和≥180 度就可组成一个更大的(半)正多面体。四、以不等边、不等角的多面体来拼凑成更大的（半）正多面体，可以有无限多种组合。五、等边、不等角的三角柱和等边、不等角的菱形柱体才可以拼成同一种更大的柱体，而且可以无限扩大。六、参考以上结果，可了解到形同方盒子的水立方游泳馆，其基本架构个体，若不是以正六面体做基础，就是以各式多面体去组合，「水立方」若以单纯的正六面体去架构，那就在平凡也不过了。所以水立方采用了不等角、不等边的不规则多面体，利用不同角度造成的斜面去组合，才能面连面、角对角的形成一个大型多面体，再加上外观使用的气枕效果，就正好造成让大家觉得它是如此的复杂、如此令人惊艳的成果了！

[ 本帖最后由 superacid 于 2011-7-13 16:45 编辑 ]